微分積分学準備例

${(y - 1)}^{2} = 8 (x + 3)$

ステップ 1

方程式を $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ として書き換えます。

$8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$

ステップ 2

$8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 (x + 3)}{8} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 (x + 3)}{8} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

ステップ 2.2.1.2

$x + 3$ を $1$ で割ります。

$x + 3 = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

ステップ 3

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8} - 3$

ステップ 4

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$x = \frac{1}{8} \cdot {(y - 1)}^{2} - 3$

ステップ 4.2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{8}$

$h = - 3$

$k = 1$

ステップ 4.3

$a$ の値が正なので、放物線は右に開です。

右に開く

ステップ 4.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 3, 1)$

ステップ 4.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 4.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 4.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

ステップ 4.5.3

簡約します。

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ステップ 4.5.3.1

$4$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

ステップ 4.5.3.2

$4$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

ステップ 4.5.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.3.2.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

ステップ 4.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

ステップ 4.5.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.5.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \cdot 2$

ステップ 4.5.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 4.6

焦点を求めます。

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ステップ 4.6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 4.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 1, 1)$

ステップ 4.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = 1$

ステップ 4.8

準線を求めます。

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ステップ 4.8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 4.8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = - 5$

ステップ 4.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(- 3, 1)$

焦点： $(- 1, 1)$

対称軸： $y = 1$

準線： $x = - 5$

方向：右に開

頂点： $(- 3, 1)$

焦点： $(- 1, 1)$

対称軸： $y = 1$

準線： $x = - 5$

ステップ 5

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 5.1

$x$ 値の $- 2$ を $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ に代入します。この場合、点は $(- 2, 3.82842712)$ です。

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ステップ 5.1.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = 2 \sqrt{2 ((- 2) + 3)} + 1$

ステップ 5.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.2.1.1

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$f (- 2) = 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

ステップ 5.1.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f (- 2) = 2 \sqrt{2} + 1$

ステップ 5.1.2.2

最終的な答えは $2 \sqrt{2} + 1$ です。

$y = 2 \sqrt{2} + 1$

ステップ 5.1.3

$2 \sqrt{2} + 1$ を10進数に変換します。

$= 3.82842712$

ステップ 5.2

$x$ 値の $- 2$ を $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ に代入します。この場合、点は $(- 2, - 1.82842712)$ です。

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ステップ 5.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 ((- 2) + 3)} + 1$

ステップ 5.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

ステップ 5.2.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2} + 1$

ステップ 5.2.2.2

最終的な答えは $- 2 \sqrt{2} + 1$ です。

$y = - 2 \sqrt{2} + 1$

ステップ 5.2.3

$- 2 \sqrt{2} + 1$ を10進数に変換します。

$= - 1.82842712$

ステップ 5.3

$x$ 値の $- 1$ を $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ に代入します。この場合、点は $(- 1, 5)$ です。

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ステップ 5.3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = 2 \sqrt{2 ((- 1) + 3)} + 1$

ステップ 5.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$f (- 1) = 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

ステップ 5.3.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- 1) = 2 \sqrt{4} + 1$

ステップ 5.3.2.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (- 1) = 2 \sqrt{2^{2}} + 1$

ステップ 5.3.2.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- 1) = 2 \cdot 2 + 1$

ステップ 5.3.2.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- 1) = 4 + 1$

ステップ 5.3.2.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = 5$

ステップ 5.3.2.3

最終的な答えは $5$ です。

$y = 5$

ステップ 5.3.3

$5$ を10進数に変換します。

$= 5$

ステップ 5.4

$x$ 値の $- 1$ を $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ に代入します。この場合、点は $(- 1, - 3)$ です。

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ステップ 5.4.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2 ((- 1) + 3)} + 1$

ステップ 5.4.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1.1

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

ステップ 5.4.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- 1) = - 2 \sqrt{4} + 1$

ステップ 5.4.2.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2^{2}} + 1$

ステップ 5.4.2.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- 1) = - 2 \cdot 2 + 1$

ステップ 5.4.2.1.5

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f (- 1) = - 4 + 1$

ステップ 5.4.2.2

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = - 3$

ステップ 5.4.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$y = - 3$

ステップ 5.4.3

$- 3$ を10進数に変換します。

$= - 3$

ステップ 5.5

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 1 \\ - 2 & 3.83 \\ - 2 & - 1.83 \\ - 1 & 5 \\ - 1 & - 3 \end{array}$

ステップ 6

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(- 3, 1)$

焦点： $(- 1, 1)$

対称軸： $y = 1$

準線： $x = - 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 1 \\ - 2 & 3.83 \\ - 2 & - 1.83 \\ - 1 & 5 \\ - 1 & - 3 \end{array}$

ステップ 7

微分積分学準備 例

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