微分積分学準備例

$\frac{y^{2}}{64} - \frac{x^{2}}{16} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{y^{2}}{64} - \frac{x^{2}}{16} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 8$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(8)}^{2} + {(4)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$8$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{64 + {(4)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{64 + 16}$

ステップ 5.3.3

$64$ と $16$ をたし算します。

$\sqrt{80}$

ステップ 5.3.4

$80$ を $4^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.4.1

$16$ を $80$ で因数分解します。

$\sqrt{16 (5)}$

ステップ 5.3.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{4^{2} \cdot 5}$

ステップ 5.3.5

累乗根の下から項を取り出します。

$4 \sqrt{5}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, 8)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $k$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h, k - a)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, - 8)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h, k \pm a)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(0, 8), (0, - 8)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, 4 \sqrt{5})$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, - 4 \sqrt{5})$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(0, 4 \sqrt{5}), (0, - 4 \sqrt{5})$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} + {(4)}^{2}}}{8}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{64 + 4^{2}}}{8}$

ステップ 8.3.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{64 + 16}}{8}$

ステップ 8.3.1.3

$64$ と $16$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{80}}{8}$

ステップ 8.3.1.4

$80$ を $4^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.4.1

$16$ を $80$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{16 (5)}}{8}$

ステップ 8.3.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 5}}{8}$

ステップ 8.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4 \sqrt{5}}{8}$

ステップ 8.3.2

$4$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.1

$4$ を $4 \sqrt{5}$ で因数分解します。

$\frac{4 (\sqrt{5})}{8}$

ステップ 8.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 2}$

ステップ 8.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 2}$

ステップ 8.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{4^{2}}{4 \sqrt{5}}$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$4^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1.1

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{5}}$

ステップ 9.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.2.1

$4$ を $4 \sqrt{5}$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{5})}$

ステップ 9.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{5}}$

ステップ 9.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{\sqrt{5}}$

ステップ 9.3.2

$\frac{4}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{4}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

ステップ 9.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.3.3.1

$\frac{4}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 9.3.3.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

ステップ 9.3.3.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

ステップ 9.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 9.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{4 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{4 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{4 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{4 \sqrt{5}}{5^{1}}$

ステップ 9.3.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

ステップ 10

この双曲線は上下に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ の形に従います。

$y = \pm 2 \cdot x + 0$

ステップ 11

$2 \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$y = 2 x$

ステップ 12

$- 2 \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$y = - 2 x$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = 2 x, y = - 2 x$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

頂点： $(0, 8), (0, - 8)$

焦点： $(0, 4 \sqrt{5}), (0, - 4 \sqrt{5})$

偏心： $\frac{\sqrt{5}}{2}$

焦点のパラメータ： $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

漸近線： $y = 2 x$ 、 $y = - 2 x$

ステップ 15

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