微分積分学準備例

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 2 \sqrt{5}$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

積の法則を $2 \sqrt{5}$ に当てはめます。

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{4 \cdot 5^{1} - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{4 \cdot 5 - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$4$ に $5$ をかけます。

$\sqrt{20 - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{20 - 1 \cdot 4}$

ステップ 5.3.3.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{20 - 4}$

ステップ 5.3.3.4

$20$ から $4$ を引きます。

$\sqrt{16}$

ステップ 5.3.3.5

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{4^{2}}$

ステップ 5.3.3.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$4$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + 2 \sqrt{5})$

ステップ 6.3

簡約します。

$(0, 2 \sqrt{5})$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (2 \sqrt{5}))$

ステップ 6.6

簡約します。

$(0, - 2 \sqrt{5})$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{5})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{5})$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + 4)$

ステップ 7.3

簡約します。

$(0, 4)$

ステップ 7.4

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (4))$

ステップ 7.6

簡約します。

$(0, - 4)$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - {(2)}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

積の法則を $2 \sqrt{5}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.3

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{1} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.3.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5 - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.4

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{\sqrt{20 - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{20 - 1 \cdot 4}}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.6

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{\sqrt{20 - 4}}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.7

$20$ から $4$ を引きます。

$\frac{\sqrt{16}}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.8

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.9

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.2.1

$2$ を $2 \sqrt{5}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{5})}$

ステップ 8.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.3

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 8.3.4.1

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.4.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.4.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

ステップ 8.3.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.3.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 8.3.4.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.3.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

ステップ 8.3.4.6.5

指数を求めます。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

偏心： $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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