微分積分学準備例

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y + 51 = 0$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $51$ を引きます。

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y = - 51$

ステップ 1.2

$4 x^{2} + 8 x$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{4}{4}$

ステップ 1.2.3.2.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{4}{4}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{64}{16}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$64$ を $16$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - 4$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$e = - 4$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ に代入します。

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

ステップ 1.3

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$ を方程式 $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y = - 51$ の中の $4 x^{2} + 8 x$ に代入します。

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + 3 y^{2} - 24 y = - 51$

ステップ 1.4

両辺に $4$ を加えて、 $- 4$ を方程式の右辺に移動させます。

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 y^{2} - 24 y = - 51 + 4$

ステップ 1.5

$3 y^{2} - 24 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 3$

$b = - 24$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$- 24$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

$2$ を $- 24$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 3$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (3)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 12}{3}$

ステップ 1.5.3.2.2

$- 12$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

$3$ を $- 12$ で因数分解します。

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 4}{1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$d = - 4$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$- 24$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $3$ をかけます。

$e = 0 - \frac{576}{12}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$576$ を $12$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 48$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $48$ をかけます。

$e = 0 - 48$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ から $48$ を引きます。

$e = - 48$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ に代入します。

$3 {(y - 4)}^{2} - 48$

ステップ 1.6

$3 {(y - 4)}^{2} - 48$ を方程式 $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y = - 51$ の中の $3 y^{2} - 24 y$ に代入します。

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} - 48 = - 51 + 4$

ステップ 1.7

両辺に $48$ を加えて、 $- 48$ を方程式の右辺に移動させます。

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = - 51 + 4 + 48$

ステップ 1.8

$- 51 + 4 + 48$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$- 51$ と $4$ をたし算します。

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = - 47 + 48$

ステップ 1.8.2

$- 47$ と $48$ をたし算します。

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = 1$

ステップ 1.9

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{\frac{1}{3}} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 4$

$h = - 1$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(- 1, 4)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{3^{1}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{3}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{3}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.4

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{3 (1)}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{1}{3} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.5

式を簡約します。

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ステップ 5.3.5.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.5.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.5.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}$

ステップ 5.3.6

$\frac{1}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

ステップ 5.3.7

$- \frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 5.3.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.3.8.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 5.3.8.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 5.3.8.3

$\frac{1}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3}}$

ステップ 5.3.8.4

$4$ に $3$ をかけます。

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{12}}$

ステップ 5.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{4 - 3}{12}}$

ステップ 5.3.10

$4$ から $3$ を引きます。

$\sqrt{\frac{1}{12}}$

ステップ 5.3.11

$\sqrt{\frac{1}{12}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}$

ステップ 5.3.12

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{\sqrt{12}}$

ステップ 5.3.13

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.13.1

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.13.1.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{4 (3)}}$

ステップ 5.3.13.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}$

ステップ 5.3.13.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 5.3.14

$\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 5.3.15

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.3.15.1

$\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 5.3.15.2

$\sqrt{3}$ を移動させます。

$\frac{\sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

ステップ 5.3.15.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

ステップ 5.3.15.4

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

ステップ 5.3.15.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.3.15.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 5.3.15.7

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.15.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.15.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.15.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.15.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.15.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.15.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

ステップ 5.3.15.7.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.3.16

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 1, 4 - (\frac{\sqrt{3}}{3}))$

ステップ 6.5

簡約します。

$(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 6.6

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

ステップ 7.3

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 1, 4 - (\frac{\sqrt{3}}{6}))$

ステップ 7.5

簡約します。

$(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

ステップ 7.6

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.2

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.3.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{3^{1}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.3.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{3}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.4

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{3}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.5

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.5.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{3 (1)}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.5.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{1}{3} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.6.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1^{2}}{2^{2}}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.6.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{2^{2}}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.6.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.7

$\frac{1}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.8

$- \frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.9

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.3.9.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.9.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.9.3

$\frac{1}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.9.4

$4$ に $3$ をかけます。

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{12}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.10

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{4 - 3}{12}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.11

$4$ から $3$ を引きます。

$\sqrt{\frac{1}{12}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.12

$\sqrt{\frac{1}{12}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.13

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{\sqrt{12}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.14

分母を簡約します。

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ステップ 8.3.14.1

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.14.1.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{4 (3)}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.14.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.14.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.15

$\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.16

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 8.3.16.1

$\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.16.2

$\sqrt{3}$ を移動させます。

$\frac{\sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.16.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.16.4

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.16.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.16.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.16.7

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.16.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.16.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.16.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.16.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.16.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.16.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.16.7.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.17

$\sqrt{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.17.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.17.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 3$

ステップ 8.3.18

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{6} \cdot 3$

ステップ 8.3.19

$\frac{1}{6}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{6}$

ステップ 8.3.20

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.20.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (1)}{6}$

ステップ 8.3.20.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.20.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

ステップ 8.3.20.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

ステップ 8.3.20.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- 1, 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

偏心： $\frac{1}{2}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例