微分積分学準備例

$x^{2} = 3 y$

ステップ 1

$y$ について解きます。

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ステップ 1.1

方程式を $3 y = x^{2}$ として書き換えます。

$3 y = x^{2}$

ステップ 1.2

$3 y = x^{2}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.1

$3 y = x^{2}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3}$

ステップ 1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3}$

ステップ 1.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{3}$

ステップ 2

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 2.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$\frac{x^{2}}{3}$ の平方完成。

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ステップ 2.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{3}$

$b = 0$

$c = 0$

ステップ 2.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 2.1.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1.3.2.1

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.3.2.1.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 2.1.1.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 2.1.1.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{0}{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.1.1.3.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = 0 \cdot 3$

ステップ 2.1.1.3.2.3

$0$ に $3$ をかけます。

$d = 0$

ステップ 2.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 2.1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 2.1.1.4.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{3}}$

ステップ 2.1.1.4.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = 0 - (0 (\frac{3}{4}))$

ステップ 2.1.1.4.2.1.4

$0$ に $\frac{3}{4}$ をかけます。

$e = 0 - 0$

ステップ 2.1.1.4.2.1.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e = 0 + 0$

ステップ 2.1.1.4.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$e = 0$

ステップ 2.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{3} x^{2}$ に代入します。

$\frac{1}{3} x^{2}$

ステップ 2.1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = \frac{1}{3} x^{2}$

ステップ 2.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{3}$

$h = 0$

$k = 0$

ステップ 2.3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 2.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(0, 0)$

ステップ 2.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 2.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 2.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

ステップ 2.5.3

簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

ステップ 2.5.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 (\frac{3}{4})$

ステップ 2.5.3.3

$\frac{3}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{4}$

ステップ 2.6

焦点を求めます。

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ステップ 2.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 2.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, \frac{3}{4})$

ステップ 2.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 0$

ステップ 2.8

準線を求めます。

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ステップ 2.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 2.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{3}{4}$

ステップ 2.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(0, 0)$

焦点： $(0, \frac{3}{4})$

対称軸： $x = 0$

準線： $y = - \frac{3}{4}$

方向：上に開

頂点： $(0, 0)$

焦点： $(0, \frac{3}{4})$

対称軸： $x = 0$

準線： $y = - \frac{3}{4}$

ステップ 3

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{3}$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.2

最終的な答えは $\frac{1}{3}$ です。

$\frac{1}{3}$

ステップ 3.3

$x = - 1$ における $y$ 値は $\frac{1}{3}$ です。

$y = \frac{1}{3}$

ステップ 3.4

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3}$

ステップ 3.5

結果を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = \frac{4}{3}$

ステップ 3.5.2

最終的な答えは $\frac{4}{3}$ です。

$\frac{4}{3}$

ステップ 3.6

$x = - 2$ における $y$ 値は $\frac{4}{3}$ です。

$y = \frac{4}{3}$

ステップ 3.7

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = \frac{{(3)}^{2}}{3}$

ステップ 3.8

結果を簡約します。

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ステップ 3.8.1

${(3)}^{2}$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.8.1.1

$3$ を ${(3)}^{2}$ で因数分解します。

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3}$

ステップ 3.8.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.8.1.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

ステップ 3.8.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

ステップ 3.8.1.2.3

式を書き換えます。

$f (3) = \frac{3}{1}$

ステップ 3.8.1.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$f (3) = 3$

ステップ 3.8.2

最終的な答えは $3$ です。

$3$

ステップ 3.9

$x = 3$ における $y$ 値は $3$ です。

$y = 3$

ステップ 3.10

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{3}$

ステップ 3.11

結果を簡約します。

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ステップ 3.11.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{1}{3}$

ステップ 3.11.2

最終的な答えは $\frac{1}{3}$ です。

$\frac{1}{3}$

ステップ 3.12

$x = 1$ における $y$ 値は $\frac{1}{3}$ です。

$y = \frac{1}{3}$

ステップ 3.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{4}{3} \\ - 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{3} \\ 3 & 3 \end{array}$

ステップ 4

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(0, 0)$

焦点： $(0, \frac{3}{4})$

対称軸： $x = 0$

準線： $y = - \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{4}{3} \\ - 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{3} \\ 3 & 3 \end{array}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

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