微分積分学準備例

$y^{2} = 1 - 25 x^{2}$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺に $25 x^{2}$ を足します。

$y^{2} + 25 x^{2} = 1$

ステップ 1.1.2

$y^{2}$ と $25 x^{2}$ を並べ替えます。

$25 x^{2} + y^{2} = 1$

ステップ 1.2

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{25}} + y^{2} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 1$

$b = \frac{1}{5}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

積の法則を $\frac{1}{5}$ に当てはめます。

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{5^{2}}}$

ステップ 5.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{1 - \frac{1}{5^{2}}}$

ステップ 5.3.4

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{1 - \frac{1}{25}}$

ステップ 5.3.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{25}{25} - \frac{1}{25}}$

ステップ 5.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{25 - 1}{25}}$

ステップ 5.3.7

$25$ から $1$ を引きます。

$\sqrt{\frac{24}{25}}$

ステップ 5.3.8

$\sqrt{\frac{24}{25}}$ を $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$

ステップ 5.3.9

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.9.1

$24$ を $2^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.9.1.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{\sqrt{25}}$

ステップ 5.3.9.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{\sqrt{25}}$

ステップ 5.3.9.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{25}}$

ステップ 5.3.10

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.10.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{5^{2}}}$

ステップ 5.3.10.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + 1)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(0, 1)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (1))$

ステップ 6.6

簡約します。

$(0, - 1)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

ステップ 7.3

簡約します。

$(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

ステップ 7.4

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (\frac{2 \sqrt{6}}{5}))$

ステップ 7.6

簡約します。

$(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}}{1}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

ステップ 8.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

ステップ 8.3.3

積の法則を $\frac{1}{5}$ に当てはめます。

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{5^{2}}}$

ステップ 8.3.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{1 - \frac{1}{5^{2}}}$

ステップ 8.3.5

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{1 - \frac{1}{25}}$

ステップ 8.3.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{25}{25} - \frac{1}{25}}$

ステップ 8.3.7

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{25 - 1}{25}}$

ステップ 8.3.8

$25$ から $1$ を引きます。

$\sqrt{\frac{24}{25}}$

ステップ 8.3.9

$\sqrt{\frac{24}{25}}$ を $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$

ステップ 8.3.10

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.10.1

$24$ を $2^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.10.1.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{\sqrt{25}}$

ステップ 8.3.10.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{\sqrt{25}}$

ステップ 8.3.10.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{25}}$

ステップ 8.3.11

分母を簡約します。

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ステップ 8.3.11.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{5^{2}}}$

ステップ 8.3.11.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

偏心： $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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