微分積分学準備例

$y = x \sqrt{1 - x^{2}}$

ステップ 1

$y = x \sqrt{1 - x^{2}}$ の定義域を求めると、 $x$ 値のリストが選択され、点のリストを求めることができます。このことで、累乗根をグラフにできます。

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ステップ 1.1

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

ステップ 1.2.2

$1 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.2.1

$1 + x$ が $0$ に等しいとします。

$1 + x = 0$

ステップ 1.2.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 1.2.3

$1 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.3.1

$1 - x$ が $0$ に等しいとします。

$1 - x = 0$

ステップ 1.2.3.2

$x$ について $1 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 1.2.3.2.2

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 1.2.4

最終解は $(1 + x) (1 - x) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1$

ステップ 1.2.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 1.2.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 1.2.6.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.2.6.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 1.2.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$(1 - 4) (1 - (- 4)) \geq 0$

ステップ 1.2.6.1.3

左辺 $- 15$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.2.6.2

区間 $- 1 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.2.6.2.1

区間 $- 1 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 1.2.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$(1 + 0) (1 - (0)) \geq 0$

ステップ 1.2.6.2.3

左辺 $1$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 1.2.6.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.2.6.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 1.2.6.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$(1 + 4) (1 - (4)) \geq 0$

ステップ 1.2.6.3.3

左辺 $- 15$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.2.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

ステップ 1.2.7

解はすべての真の区間からなります。

$- 1 \leq x \leq 1$

ステップ 1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 1, 1]$

集合の内包的記法：

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

区間記号：

$[- 1, 1]$

集合の内包的記法：

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

ステップ 2

端点を求めるために、 $x$ 値の界を定義域から $f (x) = x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ に代入します。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(1 - 1) (1 - (- 1))}$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

括弧を削除します。

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(1 - 1) (1 - (- 1))}$

ステップ 2.2.2

$1$ から $1$ を引きます。

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 (1 - (- 1))}$

ステップ 2.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 (1 + 1)}$

ステップ 2.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 \cdot 2}$

ステップ 2.2.5

$0$ に $2$ をかけます。

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0}$

ステップ 2.2.6

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.2.7

0を掛けます。

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ステップ 2.2.7.1

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- 1) = - 1 \cdot 0$

ステップ 2.2.7.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (- 1) = 0$

ステップ 2.2.8

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 2.3

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = 1 \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

ステップ 2.4

結果を簡約します。

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ステップ 2.4.1

括弧を削除します。

$f (1) = 1 \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

ステップ 2.4.2

$\sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

ステップ 2.4.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = \sqrt{2 (1 - (1))}$

ステップ 2.4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \sqrt{2 (1 - 1)}$

ステップ 2.4.5

$1$ から $1$ を引きます。

$f (1) = \sqrt{2 \cdot 0}$

ステップ 2.4.6

$2$ に $0$ をかけます。

$f (1) = \sqrt{0}$

ステップ 2.4.7

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$f (1) = \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (1) = 0$

ステップ 2.4.9

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3

端点は $(- 1, 0), (1, 0)$ です。

$(- 1, 0), (1, 0)$

ステップ 4

平方根は、頂点 $(- 1, 0), (1, 0),$ の周りの点を利用してグラフにすることができます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例