微分積分学準備例

$y = - 2 \cos (\frac{2}{3} x)$

ステップ 1

式 $a \cos (b x - c) + d$ を利用して振幅、周期、位相シフト、垂直偏移を求めるための変数を求めます。

$a = - 2$

$b = \frac{2}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

ステップ 2

偏角 $| a |$ を求めます。

偏角： $2$

ステップ 3

$- 2 \cos (\frac{2 x}{3})$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2

周期の公式の $b$ を $\frac{2}{3}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{2}{3} |}$

ステップ 3.3

$\frac{2}{3}$ は約 $0.\overline{6}$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \frac{3}{2}$

ステップ 3.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$2 (π) \frac{3}{2}$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

$2 π \frac{3}{2}$

ステップ 3.5.3

式を書き換えます。

$π \cdot 3$

ステップ 3.6

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$3 π$

ステップ 4

公式 $\frac{c}{b}$ を利用して位相シフトを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

関数の位相シフトは $\frac{c}{b}$ から求めることができます。

位相シフト： $\frac{c}{b}$

ステップ 4.2

位相シフトの方程式の $c$ と $b$ の値を置き換えます。

位相シフト： $\frac{0}{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3

分子に分母の逆数を掛けます。

位相シフト： $0 (\frac{3}{2})$

ステップ 4.4

$0$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

位相シフト： $0$

ステップ 5

三角関数の特性を記載します。

偏角： $2$

周期： $3 π$

位相シフト：なし

垂直偏移：なし

ステップ 6

数点を選択し、グラフにします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x = 0$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - 2 \cos (\frac{2 (0)}{3})$

ステップ 6.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.1

$3$ を $2 (0)$ で因数分解します。

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3})$

ステップ 6.1.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3 (1)})$

ステップ 6.1.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3 \cdot 1})$

ステップ 6.1.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (0) = - 2 \cos (\frac{2 \cdot (0)}{1})$

ステップ 6.1.2.1.2.4

$2 \cdot (0)$ を $1$ で割ります。

$f (0) = - 2 \cos (2 \cdot (0))$

ステップ 6.1.2.2

$2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = - 2 \cos (0)$

ステップ 6.1.2.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (0) = - 2 \cdot 1$

ステップ 6.1.2.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (0) = - 2$

ステップ 6.1.2.5

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 6.2

$x = \frac{3 π}{4}$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{2 (\frac{3 π}{4})}{3})$

ステップ 6.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$2$ と $\frac{3 π}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})$

ステップ 6.2.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{6 π}{4}}{3})$

ステップ 6.2.2.3

今日数因数で約分することで式 $\frac{6 π}{4}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

$2$ を $6 π$ で因数分解します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})$

ステップ 6.2.2.3.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (2)}}{3})$

ステップ 6.2.2.3.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

ステップ 6.2.2.3.4

式を書き換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})$

ステップ 6.2.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 6.2.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.5.1

$3$ を $3 π$ で因数分解します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 6.2.2.5.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 6.2.2.5.3

式を書き換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 6.2.2.6

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cdot 0$

ステップ 6.2.2.7

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

ステップ 6.2.2.8

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 6.3

$x = \frac{3 π}{2}$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{2 (\frac{3 π}{2})}{3})$

ステップ 6.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$2$ と $\frac{3 π}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})$

ステップ 6.3.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{6 π}{2}}{3})$

ステップ 6.3.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{6 π}{2}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1.1

$2$ を $6 π$ で因数分解します。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})$

ステップ 6.3.2.3.1.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (1)}}{3})$

ステップ 6.3.2.3.1.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 1}}{3})$

ステップ 6.3.2.3.1.4

式を書き換えます。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 π}{1}}{3})$

ステップ 6.3.2.3.2

$3 π$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

ステップ 6.3.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

ステップ 6.3.2.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (π)$

ステップ 6.3.2.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 (- \cos (0))$

ステップ 6.3.2.6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 6.3.2.7

$- 2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cdot - 1$

ステップ 6.3.2.7.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2$

ステップ 6.3.2.8

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 6.4

$x = \frac{9 π}{4}$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

式の変数 $x$ を $\frac{9 π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{2 (\frac{9 π}{4})}{3})$

ステップ 6.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$2$ と $\frac{9 π}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})$

ステップ 6.4.2.2

$2$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{18 π}{4}}{3})$

ステップ 6.4.2.3

今日数因数で約分することで式 $\frac{18 π}{4}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.1

$2$ を $18 π$ で因数分解します。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})$

ステップ 6.4.2.3.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 (2)}}{3})$

ステップ 6.4.2.3.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

ステップ 6.4.2.3.4

式を書き換えます。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})$

ステップ 6.4.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 6.4.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.5.1

$3$ を $9 π$ で因数分解します。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 6.4.2.5.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 6.4.2.5.3

式を書き換えます。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

ステップ 6.4.2.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 6.4.2.7

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cdot 0$

ステップ 6.4.2.8

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f (\frac{9 π}{4}) = 0$

ステップ 6.4.2.9

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 6.5

$x = 3 π$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

式の変数 $x$ を $3 π$ で置換えます。

$f (3 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{3})$

ステップ 6.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$f (3 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{3})$

ステップ 6.5.2.1.2

$2 (π)$ を $1$ で割ります。

$f (3 π) = - 2 \cos (2 (π))$

ステップ 6.5.2.2

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$f (3 π) = - 2 \cos (0)$

ステップ 6.5.2.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (3 π) = - 2 \cdot 1$

ステップ 6.5.2.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (3 π) = - 2$

ステップ 6.5.2.5

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 6.6

表に点を記載します。

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{3 π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{2} & 2 \\ \frac{9 π}{4} & 0 \\ 3 π & - 2 \end{array}$

ステップ 7

偏角、周期、位相シフト、垂直偏移、および点を使用して三角関数をグラフに描くことができます。

偏角： $2$

周期： $3 π$

位相シフト：なし

垂直偏移：なし

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{3 π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{2} & 2 \\ \frac{9 π}{4} & 0 \\ 3 π & - 2 \end{array}$

ステップ 8

微分積分学準備 例

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