微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$

ステップ 1

$y = \sqrt{16 - x^{2}}$ の定義域を求めると、 $x$ 値のリストが選択され、点のリストを求めることができます。このことで、累乗根をグラフにできます。

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ステップ 1.1

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

ステップ 1.2.2

$4 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.2.1

$4 + x$ が $0$ に等しいとします。

$4 + x = 0$

ステップ 1.2.2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 1.2.3

$4 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.3.1

$4 - x$ が $0$ に等しいとします。

$4 - x = 0$

ステップ 1.2.3.2

$x$ について $4 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.3.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- x = - 4$

ステップ 1.2.3.2.2

$- x = - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

$- x = - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x = 4$

ステップ 1.2.4

最終解は $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 4, 4$

ステップ 1.2.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 1.2.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 1.2.6.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.2.6.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 1.2.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

ステップ 1.2.6.1.3

左辺 $- 20$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.2.6.2

区間 $- 4 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.2.6.2.1

区間 $- 4 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 1.2.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

ステップ 1.2.6.2.3

左辺 $16$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 1.2.6.3

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.2.6.3.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 1.2.6.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

ステップ 1.2.6.3.3

左辺 $- 20$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.2.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 偽

$- 4 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

$x < - 4$ 偽

$- 4 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

ステップ 1.2.7

解はすべての真の区間からなります。

$- 4 \leq x \leq 4$

ステップ 1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 4, 4]$

集合の内包的記法：

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

区間記号：

$[- 4, 4]$

集合の内包的記法：

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

ステップ 2

端点を求めるために、 $x$ 値の界を定義域から $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ に代入します。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f (- 4) = \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

括弧を削除します。

$f (- 4) = \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

ステップ 2.2.2

$4$ から $4$ を引きます。

$f (- 4) = \sqrt{0 (4 - (- 4))}$

ステップ 2.2.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f (- 4) = \sqrt{0 (4 + 4)}$

ステップ 2.2.4

$4$ と $4$ をたし算します。

$f (- 4) = \sqrt{0 \cdot 8}$

ステップ 2.2.5

$0$ に $8$ をかけます。

$f (- 4) = \sqrt{0}$

ステップ 2.2.6

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$f (- 4) = \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.2.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- 4) = 0$

ステップ 2.2.8

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 2.3

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

ステップ 2.4

結果を簡約します。

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ステップ 2.4.1

括弧を削除します。

$f (4) = \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

ステップ 2.4.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$f (4) = \sqrt{8 (4 - (4))}$

ステップ 2.4.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f (4) = \sqrt{8 (4 - 4)}$

ステップ 2.4.4

$4$ から $4$ を引きます。

$f (4) = \sqrt{8 \cdot 0}$

ステップ 2.4.5

$8$ に $0$ をかけます。

$f (4) = \sqrt{0}$

ステップ 2.4.6

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$f (4) = \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (4) = 0$

ステップ 2.4.8

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3

端点は $(- 4, 0), (4, 0)$ です。

$(- 4, 0), (4, 0)$

ステップ 4

定義域からいくつかの $x$ 値を選択します。無理式の端点の $x$ 値の隣にくるように値を選択するとより便利です。

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ステップ 4.1

$x$ 値の $- 3$ を $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ に代入します。この場合、点は $(- 3, \sqrt{7})$ です。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

括弧を削除します。

$f (- 3) = \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

ステップ 4.1.2.2

$4$ から $3$ を引きます。

$f (- 3) = \sqrt{1 (4 - (- 3))}$

ステップ 4.1.2.3

$4 - (- 3)$ に $1$ をかけます。

$f (- 3) = \sqrt{4 - (- 3)}$

ステップ 4.1.2.4

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$f (- 3) = \sqrt{4 + 3}$

ステップ 4.1.2.5

$4$ と $3$ をたし算します。

$f (- 3) = \sqrt{7}$

ステップ 4.1.2.6

最終的な答えは $\sqrt{7}$ です。

$y = \sqrt{7}$

ステップ 4.2

$x$ 値の $- 2$ を $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ に代入します。この場合、点は $(- 2, 2 \sqrt{3})$ です。

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ステップ 4.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

ステップ 4.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

括弧を削除します。

$f (- 2) = \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

ステップ 4.2.2.2

$4$ から $2$ を引きます。

$f (- 2) = \sqrt{2 (4 - (- 2))}$

ステップ 4.2.2.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = \sqrt{2 (4 + 2)}$

ステップ 4.2.2.4

$4$ と $2$ をたし算します。

$f (- 2) = \sqrt{2 \cdot 6}$

ステップ 4.2.2.5

$2$ に $6$ をかけます。

$f (- 2) = \sqrt{12}$

ステップ 4.2.2.6

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.2.6.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$f (- 2) = \sqrt{4 (3)}$

ステップ 4.2.2.6.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (- 2) = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

ステップ 4.2.2.7

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- 2) = 2 \sqrt{3}$

ステップ 4.2.2.8

最終的な答えは $2 \sqrt{3}$ です。

$y = 2 \sqrt{3}$

ステップ 4.3

$x$ 値の $- 1$ を $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ に代入します。この場合、点は $(- 1, \sqrt{15})$ です。

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ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

括弧を削除します。

$f (- 1) = \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

ステップ 4.3.2.2

$4$ から $1$ を引きます。

$f (- 1) = \sqrt{3 (4 - (- 1))}$

ステップ 4.3.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = \sqrt{3 (4 + 1)}$

ステップ 4.3.2.4

$4$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = \sqrt{3 \cdot 5}$

ステップ 4.3.2.5

$3$ に $5$ をかけます。

$f (- 1) = \sqrt{15}$

ステップ 4.3.2.6

最終的な答えは $\sqrt{15}$ です。

$y = \sqrt{15}$

ステップ 4.4

$x$ 値の $0$ を $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ に代入します。この場合、点は $(0, 4)$ です。

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ステップ 4.4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

ステップ 4.4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

括弧を削除します。

$f (0) = \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

ステップ 4.4.2.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = \sqrt{4 (4 - (0))}$

ステップ 4.4.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \sqrt{4 (4 + 0)}$

ステップ 4.4.2.4

$4$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = \sqrt{4 \cdot 4}$

ステップ 4.4.2.5

$4$ に $4$ をかけます。

$f (0) = \sqrt{16}$

ステップ 4.4.2.6

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f (0) = \sqrt{4^{2}}$

ステップ 4.4.2.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (0) = 4$

ステップ 4.4.2.8

最終的な答えは $4$ です。

$y = 4$

ステップ 4.5

$x$ 値の $1$ を $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ に代入します。この場合、点は $(1, \sqrt{15})$ です。

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ステップ 4.5.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

ステップ 4.5.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.5.2.1

括弧を削除します。

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

ステップ 4.5.2.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = \sqrt{5 (4 - (1))}$

ステップ 4.5.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \sqrt{5 (4 - 1)}$

ステップ 4.5.2.4

$4$ から $1$ を引きます。

$f (1) = \sqrt{5 \cdot 3}$

ステップ 4.5.2.5

$5$ に $3$ をかけます。

$f (1) = \sqrt{15}$

ステップ 4.5.2.6

最終的な答えは $\sqrt{15}$ です。

$y = \sqrt{15}$

ステップ 4.6

$x$ 値の $2$ を $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ に代入します。この場合、点は $(2, 2 \sqrt{3})$ です。

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ステップ 4.6.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

ステップ 4.6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.1

括弧を削除します。

$f (2) = \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

ステップ 4.6.2.2

$4$ と $2$ をたし算します。

$f (2) = \sqrt{6 (4 - (2))}$

ステップ 4.6.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (2) = \sqrt{6 (4 - 2)}$

ステップ 4.6.2.4

$4$ から $2$ を引きます。

$f (2) = \sqrt{6 \cdot 2}$

ステップ 4.6.2.5

$6$ に $2$ をかけます。

$f (2) = \sqrt{12}$

ステップ 4.6.2.6

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.6.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$f (2) = \sqrt{4 (3)}$

ステップ 4.6.2.6.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (2) = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

ステップ 4.6.2.7

累乗根の下から項を取り出します。

$f (2) = 2 \sqrt{3}$

ステップ 4.6.2.8

最終的な答えは $2 \sqrt{3}$ です。

$y = 2 \sqrt{3}$

ステップ 4.7

$x$ 値の $3$ を $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ に代入します。この場合、点は $(3, \sqrt{7})$ です。

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ステップ 4.7.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

ステップ 4.7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.1

括弧を削除します。

$f (3) = \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

ステップ 4.7.2.2

$4$ と $3$ をたし算します。

$f (3) = \sqrt{7 (4 - (3))}$

ステップ 4.7.2.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (3) = \sqrt{7 (4 - 3)}$

ステップ 4.7.2.4

$4$ から $3$ を引きます。

$f (3) = \sqrt{7 \cdot 1}$

ステップ 4.7.2.5

$7$ に $1$ をかけます。

$f (3) = \sqrt{7}$

ステップ 4.7.2.6

最終的な答えは $\sqrt{7}$ です。

$y = \sqrt{7}$

ステップ 4.8

平方根は、頂点 $(- 4, 0), (4, 0), (- 3, 2.65), (- 2, 3.46), (- 1, 3.87), (0, 4), (1, 3.87), (2, 3.46), (3, 2.65)$ の周りの点を利用してグラフにすることができます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & 2.65 \\ - 2 & 3.46 \\ - 1 & 3.87 \\ 0 & 4 \\ 1 & 3.87 \\ 2 & 3.46 \\ 3 & 2.65 \\ 4 & 0 \end{array}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例