微分積分学準備例

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$

ステップ 1

$\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

書き換えます。

$x - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$

ステップ 1.2

${(y - 1)}^{2}$ を $(y - 1) (y - 1)$ に書き換えます。

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot ((y - 1) (y - 1))$

ステップ 1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(y - 1) (y - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y (y - 1) - 1 (y - 1))$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1))$

ステップ 1.3.3

分配則を当てはめます。

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.4.1.2

$- 1$ を $y$ の左に移動させます。

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.4.1.3

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - 1 y - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.4.1.4

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - y - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.4.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - y + 1)$

ステップ 1.4.2

$- y$ から $y$ を引きます。

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - 2 y + 1)$

ステップ 1.5

分配則を当てはめます。

$x - 4 = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} (- 2 y) + \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- 2 y) + \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 1.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.2.1

$2$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- y)) + \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 1.6.2.2

共通因数を約分します。

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- y)) + \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 1.6.2.3

式を書き換えます。

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 1.6.3

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2}$

ステップ 2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + 4$

ステップ 2.2

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.3

$4$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1 + 4 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1 + 8}{2}$

ステップ 2.5.2

$1$ と $8$ をたし算します。

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{9}{2}$

ステップ 3

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 3.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{y^{2}}{2} - y + \frac{9}{2}$ の平方完成。

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ステップ 3.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = \frac{9}{2}$

ステップ 3.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 3.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 3.1.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

ステップ 3.1.1.3.2.2

$2$ を $2$ で割ります。

$d = \frac{- 1}{1}$

ステップ 3.1.1.3.2.3

$- 1$ を $1$ で割ります。

$d = - 1$

ステップ 3.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 3.1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1.4.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 3.1.1.4.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

ステップ 3.1.1.4.2.1.3

$4$ を $2$ で割ります。

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 3.1.1.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{9 - 1}{2}$

ステップ 3.1.1.4.2.3

$9$ から $1$ を引きます。

$e = \frac{8}{2}$

ステップ 3.1.1.4.2.4

$8$ を $2$ で割ります。

$e = 4$

ステップ 3.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{2} {(y - 1)}^{2} + 4$ に代入します。

$\frac{1}{2} {(y - 1)}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2} + 4$

ステップ 3.2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = 1$

ステップ 3.3

$a$ の値が正なので、放物線は右に開です。

右に開く

ステップ 3.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(4, 1)$

ステップ 3.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 3.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 3.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 3.5.3

簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

ステップ 3.5.3.2

$4$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2}$

ステップ 3.6

焦点を求めます。

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ステップ 3.6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 3.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{9}{2}, 1)$

ステップ 3.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = 1$

ステップ 3.8

準線を求めます。

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ステップ 3.8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 3.8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = \frac{7}{2}$

ステップ 3.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(4, 1)$

焦点： $(\frac{9}{2}, 1)$

対称軸： $y = 1$

準線： $x = \frac{7}{2}$

方向：右に開

頂点： $(4, 1)$

焦点： $(\frac{9}{2}, 1)$

対称軸： $y = 1$

準線： $x = \frac{7}{2}$

ステップ 4

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 4.1

$x$ 値の $5$ を $f (x) = \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ に代入します。この場合、点は $(5, 2.41421356)$ です。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f (5) = \sqrt{2 ((5) - 4)} + 1$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$5$ から $4$ を引きます。

$f (5) = \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f (5) = \sqrt{2} + 1$

ステップ 4.1.2.2

最終的な答えは $\sqrt{2} + 1$ です。

$y = \sqrt{2} + 1$

ステップ 4.1.3

$\sqrt{2} + 1$ を10進数に変換します。

$= 2.41421356$

ステップ 4.2

$x$ 値の $5$ を $f (x) = - \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ に代入します。この場合、点は $(5, - 0.41421356)$ です。

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ステップ 4.2.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f (5) = - \sqrt{2 ((5) - 4)} + 1$

ステップ 4.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$5$ から $4$ を引きます。

$f (5) = - \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

ステップ 4.2.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f (5) = - \sqrt{2} + 1$

ステップ 4.2.2.2

最終的な答えは $- \sqrt{2} + 1$ です。

$y = - \sqrt{2} + 1$

ステップ 4.2.3

$- \sqrt{2} + 1$ を10進数に変換します。

$= - 0.41421356$

ステップ 4.3

$x$ 値の $6$ を $f (x) = \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ に代入します。この場合、点は $(6, 3)$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f (6) = \sqrt{2 ((6) - 4)} + 1$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$6$ から $4$ を引きます。

$f (6) = \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

ステップ 4.3.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (6) = \sqrt{4} + 1$

ステップ 4.3.2.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (6) = \sqrt{2^{2}} + 1$

ステップ 4.3.2.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (6) = 2 + 1$

ステップ 4.3.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (6) = 3$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $3$ です。

$y = 3$

ステップ 4.3.3

$3$ を10進数に変換します。

$= 3$

ステップ 4.4

$x$ 値の $6$ を $f (x) = - \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ に代入します。この場合、点は $(6, - 1)$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f (6) = - \sqrt{2 ((6) - 4)} + 1$

ステップ 4.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1

$6$ から $4$ を引きます。

$f (6) = - \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

ステップ 4.4.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (6) = - \sqrt{4} + 1$

ステップ 4.4.2.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (6) = - \sqrt{2^{2}} + 1$

ステップ 4.4.2.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (6) = - 1 \cdot 2 + 1$

ステップ 4.4.2.1.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (6) = - 2 + 1$

ステップ 4.4.2.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$f (6) = - 1$

ステップ 4.4.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 4.4.3

$- 1$ を10進数に変換します。

$= - 1$

ステップ 4.5

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 1 \\ 5 & 2.41 \\ 5 & - 0.41 \\ 6 & 3 \\ 6 & - 1 \end{array}$

ステップ 5

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(4, 1)$

焦点： $(\frac{9}{2}, 1)$

対称軸： $y = 1$

準線： $x = \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 1 \\ 5 & 2.41 \\ 5 & - 0.41 \\ 6 & 3 \\ 6 & - 1 \end{array}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例