微分積分学準備例

$y + 2 = - 2 {(x + 3)}^{2}$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$y = - 2 {(x + 3)}^{2} - 2$

ステップ 1.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - 2$

$h = - 3$

$k = - 2$

ステップ 1.3

$a$ の値が負なので、放物線は下に開です。

下に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 3, - 2)$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

ステップ 1.5.3

簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{1}{- 8}$

ステップ 1.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{8}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 3, - \frac{17}{8})$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - 3$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{15}{8}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(- 3, - 2)$

焦点： $(- 3, - \frac{17}{8})$

対称軸： $x = - 3$

準線： $y = - \frac{15}{8}$

方向：下に開

頂点： $(- 3, - 2)$

焦点： $(- 3, - \frac{17}{8})$

対称軸： $x = - 3$

準線： $y = - \frac{15}{8}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f (- 4) = - 2 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4 - 20$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f (- 4) = - 2 \cdot 16 - 12 \cdot - 4 - 20$

ステップ 2.2.1.2

$- 2$ に $16$ をかけます。

$f (- 4) = - 32 - 12 \cdot - 4 - 20$

ステップ 2.2.1.3

$- 12$ に $- 4$ をかけます。

$f (- 4) = - 32 + 48 - 20$

ステップ 2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$- 32$ と $48$ をたし算します。

$f (- 4) = 16 - 20$

ステップ 2.2.2.2

$16$ から $20$ を引きます。

$f (- 4) = - 4$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $- 4$ です。

$- 4$

ステップ 2.3

$x = - 4$ における $y$ 値は $- 4$ です。

$y = - 4$

ステップ 2.4

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f (- 5) = - 2 {(- 5)}^{2} - 12 \cdot - 5 - 20$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f (- 5) = - 2 \cdot 25 - 12 \cdot - 5 - 20$

ステップ 2.5.1.2

$- 2$ に $25$ をかけます。

$f (- 5) = - 50 - 12 \cdot - 5 - 20$

ステップ 2.5.1.3

$- 12$ に $- 5$ をかけます。

$f (- 5) = - 50 + 60 - 20$

ステップ 2.5.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$- 50$ と $60$ をたし算します。

$f (- 5) = 10 - 20$

ステップ 2.5.2.2

$10$ から $20$ を引きます。

$f (- 5) = - 10$

ステップ 2.5.3

最終的な答えは $- 10$ です。

$- 10$

ステップ 2.6

$x = - 5$ における $y$ 値は $- 10$ です。

$y = - 10$

ステップ 2.7

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 20$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

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ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.8.1.1

指数を足して $- 2$ に ${(- 2)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.1.1

$- 2$ に ${(- 2)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 2.8.1.1.1.1

$- 2$ を $1$ 乗します。

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 20$

ステップ 2.8.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 2} - 12 \cdot - 2 - 20$

ステップ 2.8.1.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2 - 20$

ステップ 2.8.1.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f (- 2) = - 8 - 12 \cdot - 2 - 20$

ステップ 2.8.1.3

$- 12$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = - 8 + 24 - 20$

ステップ 2.8.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.8.2.1

$- 8$ と $24$ をたし算します。

$f (- 2) = 16 - 20$

ステップ 2.8.2.2

$16$ から $20$ を引きます。

$f (- 2) = - 4$

ステップ 2.8.3

最終的な答えは $- 4$ です。

$- 4$

ステップ 2.9

$x = - 2$ における $y$ 値は $- 4$ です。

$y = - 4$

ステップ 2.10

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = - 2 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1 - 20$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = - 2 \cdot 1 - 12 \cdot - 1 - 20$

ステップ 2.11.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = - 2 - 12 \cdot - 1 - 20$

ステップ 2.11.1.3

$- 12$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = - 2 + 12 - 20$

ステップ 2.11.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.2.1

$- 2$ と $12$ をたし算します。

$f (- 1) = 10 - 20$

ステップ 2.11.2.2

$10$ から $20$ を引きます。

$f (- 1) = - 10$

ステップ 2.11.3

最終的な答えは $- 10$ です。

$- 10$

ステップ 2.12

$x = - 1$ における $y$ 値は $- 10$ です。

$y = - 10$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 10 \\ - 4 & - 4 \\ - 3 & - 2 \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 10 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(- 3, - 2)$

焦点： $(- 3, - \frac{17}{8})$

対称軸： $x = - 3$

準線： $y = - \frac{15}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 10 \\ - 4 & - 4 \\ - 3 & - 2 \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 10 \end{array}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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