微分積分学準備例

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

ステップ 1

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$- \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

書き換えます。

$y - 5 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

ステップ 1.1.2

${(x - 3)}^{2}$ を $(x - 3) (x - 3)$ に書き換えます。

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot ((x - 3) (x - 3))$

ステップ 1.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 3) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x (x - 3) - 3 (x - 3))$

ステップ 1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))$

ステップ 1.1.3.3

分配則を当てはめます。

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

ステップ 1.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

ステップ 1.1.4.1.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)$

ステップ 1.1.4.1.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)$

ステップ 1.1.4.2

$- 3 x$ から $3 x$ を引きます。

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 x + 9)$

ステップ 1.1.5

分配則を当てはめます。

$y - 5 = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

ステップ 1.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

ステップ 1.1.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.2.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

ステップ 1.1.6.2.2

$2$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

ステップ 1.1.6.2.3

共通因数を約分します。

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

ステップ 1.1.6.2.4

式を書き換えます。

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - 1 (- 3 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

ステップ 1.1.6.3

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{1}{2} \cdot 9$

ステップ 1.1.6.4

$- \frac{1}{2} \cdot 9$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.4.1

$9$ に $- 1$ をかけます。

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 9 (\frac{1}{2})$

ステップ 1.1.6.4.2

$- 9$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9}{2}$

ステップ 1.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2}$

ステップ 1.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5$

ステップ 1.2.2

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 1.2.3

$5$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

ステップ 1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 5 \cdot 2}{2}$

ステップ 1.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$5$ に $2$ をかけます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 10}{2}$

ステップ 1.2.5.2

$- 9$ と $10$ をたし算します。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$

ステップ 2

与えられた放物線の特性を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$- \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$ の平方完成。

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ステップ 2.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = \frac{1}{2}$

ステップ 2.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{3}{2 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 2.1.1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$d = \frac{3}{- 2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.1.1.3.2.1.2

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$d = \frac{3}{\frac{- 2}{2}}$

ステップ 2.1.1.3.2.2

$- 2$ を $2$ で割ります。

$d = \frac{3}{- 1}$

ステップ 2.1.1.3.2.3

$3$ を $- 1$ で割ります。

$d = - 3$

ステップ 2.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{1}{2} - \frac{3^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 2.1.1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{4 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 2.1.1.4.2.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1.1.4.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.1.1.4.2.1.2.2

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{\frac{- 4}{2}}$

ステップ 2.1.1.4.2.1.3

$- 4$ を $2$ で割ります。

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 2}$

ステップ 2.1.1.4.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$e = \frac{1}{2} - - \frac{9}{2}$

ステップ 2.1.1.4.2.1.5

$- - \frac{9}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.2.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = \frac{1}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

ステップ 2.1.1.4.2.1.5.2

$\frac{9}{2}$ に $1$ をかけます。

$e = \frac{1}{2} + \frac{9}{2}$

ステップ 2.1.1.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{1 + 9}{2}$

ステップ 2.1.1.4.2.3

$1$ と $9$ をたし算します。

$e = \frac{10}{2}$

ステップ 2.1.1.4.2.4

$10$ を $2$ で割ります。

$e = 5$

ステップ 2.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$ に代入します。

$- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$

ステップ 2.1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} + 5$

ステップ 2.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 5$

ステップ 2.3

$a$ の値が負なので、放物線は下に開です。

下に開く

ステップ 2.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(3, 5)$

ステップ 2.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 2.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 2.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

ステップ 2.5.3

簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

ステップ 2.5.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.5.3.2

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

ステップ 2.5.3.3

$4$ を $2$ で割ります。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 2.6

焦点を求めます。

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ステップ 2.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 2.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(3, \frac{9}{2})$

ステップ 2.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 3$

ステップ 2.8

準線を求めます。

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ステップ 2.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 2.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = \frac{11}{2}$

ステップ 2.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(3, 5)$

焦点： $(3, \frac{9}{2})$

対称軸： $x = 3$

準線： $y = \frac{11}{2}$

方向：下に開

頂点： $(3, 5)$

焦点： $(3, \frac{9}{2})$

対称軸： $x = 3$

準線： $y = \frac{11}{2}$

ステップ 3

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 3 (1) + \frac{1}{2}$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (1) = 3 (1) + \frac{- {(1)}^{2} + 1}{2}$

ステップ 3.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 \cdot 1 + 1}{2}$

ステップ 3.2.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 + 1}{2}$

ステップ 3.2.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = 3 (1) + \frac{0}{2}$

ステップ 3.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$3$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 3 + \frac{0}{2}$

ステップ 3.2.4.2

$0$ を $2$ で割ります。

$f (1) = 3 + 0$

ステップ 3.2.5

$3$ と $0$ をたし算します。

$f (1) = 3$

ステップ 3.2.6

最終的な答えは $3$ です。

$3$

ステップ 3.3

$x = 1$ における $y$ 値は $3$ です。

$y = 3$

ステップ 3.4

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 3 (2) + \frac{1}{2}$

ステップ 3.5

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

公分母の分子をまとめます。

$f (2) = 3 (2) + \frac{- {(2)}^{2} + 1}{2}$

ステップ 3.5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{2}$

ステップ 3.5.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 4 + 1}{2}$

ステップ 3.5.3

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.5.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

$3$ に $2$ をかけます。

$f (2) = 6 + \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.5.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (2) = 6 - \frac{3}{2}$

ステップ 3.5.5

$6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (2) = 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

ステップ 3.5.6

$6$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (2) = \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

ステップ 3.5.7

公分母の分子をまとめます。

$f (2) = \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

ステップ 3.5.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.1

$6$ に $2$ をかけます。

$f (2) = \frac{12 - 3}{2}$

ステップ 3.5.8.2

$12$ から $3$ を引きます。

$f (2) = \frac{9}{2}$

ステップ 3.5.9

最終的な答えは $\frac{9}{2}$ です。

$\frac{9}{2}$

ステップ 3.6

$x = 2$ における $y$ 値は $\frac{9}{2}$ です。

$y = \frac{9}{2}$

ステップ 3.7

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 3 (5) + \frac{1}{2}$

ステップ 3.8

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

公分母の分子をまとめます。

$f (5) = 3 (5) + \frac{- {(5)}^{2} + 1}{2}$

ステップ 3.8.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1

$5$ を $2$ 乗します。

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 1 \cdot 25 + 1}{2}$

ステップ 3.8.2.2

$- 1$ に $25$ をかけます。

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 25 + 1}{2}$

ステップ 3.8.3

$- 25$ と $1$ をたし算します。

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 24}{2}$

ステップ 3.8.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1

$3$ に $5$ をかけます。

$f (5) = 15 + \frac{- 24}{2}$

ステップ 3.8.4.2

$- 24$ を $2$ で割ります。

$f (5) = 15 - 12$

ステップ 3.8.5

$15$ から $12$ を引きます。

$f (5) = 3$

ステップ 3.8.6

最終的な答えは $3$ です。

$3$

ステップ 3.9

$x = 5$ における $y$ 値は $3$ です。

$y = 3$

ステップ 3.10

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{2} + 3 (4) + \frac{1}{2}$

ステップ 3.11

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

公分母の分子をまとめます。

$f (4) = 3 (4) + \frac{- {(4)}^{2} + 1}{2}$

ステップ 3.11.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 1 \cdot 16 + 1}{2}$

ステップ 3.11.2.2

$- 1$ に $16$ をかけます。

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 16 + 1}{2}$

ステップ 3.11.3

$- 16$ と $1$ をたし算します。

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 15}{2}$

ステップ 3.11.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.4.1

$3$ に $4$ をかけます。

$f (4) = 12 + \frac{- 15}{2}$

ステップ 3.11.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (4) = 12 - \frac{15}{2}$

ステップ 3.11.5

$12$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (4) = 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

ステップ 3.11.6

$12$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (4) = \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

ステップ 3.11.7

公分母の分子をまとめます。

$f (4) = \frac{12 \cdot 2 - 15}{2}$

ステップ 3.11.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.8.1

$12$ に $2$ をかけます。

$f (4) = \frac{24 - 15}{2}$

ステップ 3.11.8.2

$24$ から $15$ を引きます。

$f (4) = \frac{9}{2}$

ステップ 3.11.9

最終的な答えは $\frac{9}{2}$ です。

$\frac{9}{2}$

ステップ 3.12

$x = 4$ における $y$ 値は $\frac{9}{2}$ です。

$y = \frac{9}{2}$

ステップ 3.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

ステップ 4

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(3, 5)$

焦点： $(3, \frac{9}{2})$

対称軸： $x = 3$

準線： $y = \frac{11}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

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