微分積分学準備例

$\cos (3 x) = \sin (3 x)$

ステップ 1

方程式の各項を $\cos (3 x)$ で割ります。

$\frac{\cos (3 x)}{\cos (3 x)} = \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

ステップ 2

$\cos (3 x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (3 x)}{\cos (3 x)} = \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

ステップ 2.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

ステップ 3

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ を $\tan (3 x)$ に変換します。

$1 = \tan (3 x)$

ステップ 4

方程式を $\tan (3 x) = 1$ として書き換えます。

$\tan (3 x) = 1$

ステップ 5

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$3 x = \arctan (1)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$3 x = \frac{π}{4}$

ステップ 7

$3 x = \frac{π}{4}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$3 x = \frac{π}{4}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

ステップ 7.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 7.3.2

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 7.3.2.1

$\frac{π}{4}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

ステップ 7.3.2.2

$4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{π}{12}$

ステップ 8

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$3 x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 9

$x$ について解きます。

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ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 9.1.2

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 9.1.3

公分母の分子をまとめます。

$3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 9.1.4

$π \cdot 4$ と $π$ をたし算します。

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ステップ 9.1.4.1

$π$ と $4$ を並べ替えます。

$3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 9.1.4.2

$4 \cdot π$ と $π$ をたし算します。

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

ステップ 9.2

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.2.1

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

ステップ 9.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

ステップ 9.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

ステップ 9.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 9.2.3.2

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 9.2.3.2.1

$\frac{5 π}{4}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

ステップ 9.2.3.2.2

$4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{12}$

ステップ 10

$\tan (3 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 10.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 10.2

周期の公式の $b$ を $3$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 3 |}$

ステップ 10.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{π}{3}$

ステップ 11

$\tan (3 x)$ 関数の周期が $\frac{π}{3}$ なので、両方向で $\frac{π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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