微分積分学準備例

$p (x) = (x - 1) (x + 2)$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$(x - 1) (x + 2)$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$x (x + 2) - 1 (x + 2)$

ステップ 1.1.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)$

ステップ 1.1.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2$

ステップ 1.1.1.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2$

ステップ 1.1.1.1.2.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2$

ステップ 1.1.1.1.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2$

ステップ 1.1.1.1.2.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x^{2} + 2 x - x - 2$

ステップ 1.1.1.1.2.2

$2 x$ から $x$ を引きます。

$x^{2} + x - 2$

ステップ 1.1.1.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 1$

$c = - 2$

ステップ 1.1.1.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.1.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{2}$

ステップ 1.1.1.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 2 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$e = - 2 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = - 2 - \frac{1}{4}$

ステップ 1.1.1.5.2.2

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$e = - 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

ステップ 1.1.1.5.2.3

$- 2$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$e = \frac{- 2 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

ステップ 1.1.1.5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 2 \cdot 4 - 1}{4}$

ステップ 1.1.1.5.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.5.1

$- 2$ に $4$ をかけます。

$e = \frac{- 8 - 1}{4}$

ステップ 1.1.1.5.2.5.2

$- 8$ から $1$ を引きます。

$e = \frac{- 9}{4}$

ステップ 1.1.1.5.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{9}{4}$

ステップ 1.1.1.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ に代入します。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

ステップ 1.1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

ステップ 1.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 1$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = - \frac{9}{4}$

ステップ 1.3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{1}{2}, - 2)$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 1.8

準線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{5}{2}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

焦点： $(- \frac{1}{2}, - 2)$

対称軸： $x = - \frac{1}{2}$

準線： $y = - \frac{5}{2}$

方向：上に開

頂点： $(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

焦点： $(- \frac{1}{2}, - 2)$

対称軸： $x = - \frac{1}{2}$

準線： $y = - \frac{5}{2}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = ((- 1) - 1) ((- 1) + 2)$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ から $1$ を引きます。

$f (- 1) = - 2 ((- 1) + 2)$

ステップ 2.2.2

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$f (- 1) = - 2 \cdot 1$

ステップ 2.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = - 2$

ステップ 2.2.4

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 2.3

$x = - 1$ における $y$ 値は $- 2$ です。

$y = - 2$

ステップ 2.4

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = ((- 2) - 1) ((- 2) + 2)$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- 2$ から $1$ を引きます。

$f (- 2) = - 3 ((- 2) + 2)$

ステップ 2.5.2

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f (- 2) = - 3 \cdot 0$

ステップ 2.5.3

$- 3$ に $0$ をかけます。

$f (- 2) = 0$

ステップ 2.5.4

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 2.6

$x = - 2$ における $y$ 値は $0$ です。

$y = 0$

ステップ 2.7

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = ((1) - 1) ((1) + 2)$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (1) = 0 ((1) + 2)$

ステップ 2.8.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (1) = 0 \cdot 3$

ステップ 2.8.3

$0$ に $3$ をかけます。

$f (1) = 0$

ステップ 2.8.4

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 2.9

$x = 1$ における $y$ 値は $0$ です。

$y = 0$

ステップ 2.10

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = ((2) - 1) ((2) + 2)$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$2$ から $1$ を引きます。

$f (2) = 1 ((2) + 2)$

ステップ 2.11.2

$(2) + 2$ に $1$ をかけます。

$f (2) = (2) + 2$

ステップ 2.11.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$f (2) = 4$

ステップ 2.11.4

最終的な答えは $4$ です。

$4$

ステップ 2.12

$x = 2$ における $y$ 値は $4$ です。

$y = 4$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 2 \\ - \frac{1}{2} & - \frac{9}{4} \\ 1 & 0 \\ 2 & 4 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

焦点： $(- \frac{1}{2}, - 2)$

対称軸： $x = - \frac{1}{2}$

準線： $y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 2 \\ - \frac{1}{2} & - \frac{9}{4} \\ 1 & 0 \\ 2 & 4 \end{array}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

微分積分学準備例