微分積分学準備例

$f (x) = 5 \tan (\frac{1}{4} x + \frac{π}{4}) - 2$

ステップ 1

漸近線を求めます。

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ステップ 1.1

任意の $y = \tan (x)$ について、垂直漸近線が $x = \frac{π}{2} + n π$ で発生します。ここで $n$ は整数です。 $y = \tan (x)$ の基本周期 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ を使って、 $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ の垂直漸近線を求めます。 $y = a \tan (b x + c) + d$ の正接関数の内側 $b x + c$ を $- \frac{π}{2}$ と等しくし、 $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ の垂直漸近線が発生する場所を求めます。

$\frac{x}{4} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.2.1.1

方程式の両辺から $\frac{π}{4}$ を引きます。

$\frac{x}{4} = - \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.1.2

$- \frac{π}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x}{4} = - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.2.1.3.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{x}{4} = - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.1.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x}{4} = - \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x}{4} = \frac{- π \cdot 2 - π}{4}$

ステップ 1.2.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.1.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x}{4} = \frac{- 2 π - π}{4}$

ステップ 1.2.1.5.2

$- 2 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{x}{4} = \frac{- 3 π}{4}$

ステップ 1.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x}{4} = - \frac{3 π}{4}$

ステップ 1.2.2

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$x = - 3 π$

ステップ 1.3

正切関数 $\frac{x}{4} + \frac{π}{4}$ の中を $\frac{π}{2}$ と等しくします。

$\frac{x}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

ステップ 1.4

$x$ について解きます。

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ステップ 1.4.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.4.1.1

方程式の両辺から $\frac{π}{4}$ を引きます。

$\frac{x}{4} = \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

ステップ 1.4.1.2

$\frac{π}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x}{4} = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

ステップ 1.4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.4.1.3.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

ステップ 1.4.1.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 1.4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{4}$

ステップ 1.4.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.1.5.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{x}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{4}$

ステップ 1.4.1.5.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{x}{4} = \frac{π}{4}$

ステップ 1.4.2

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$x = π$

ステップ 1.5

$y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ の基本周期は $(- 3 π, π)$ で発生し、ここで $- 3 π$ と $π$ は垂直漸近線です。

$(- 3 π, π)$

ステップ 1.6

周期 $\frac{π}{| b |}$ を求め、垂直漸近線が存在する場所を求めます。

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ステップ 1.6.1

$\frac{1}{4}$ は約 $0.25$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.6.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$π \cdot 4$

ステップ 1.6.3

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$4 π$

ステップ 1.7

$y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ の垂直漸近線は $- 3 π$ 、 $π$ 、およびすべての $x = - 3 π + 4 π n$ で発生し、ここで $n$ は整数です。

$x = - 3 π + 4 π n$

ステップ 1.8

正切のみに垂直漸近線があります。

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

垂直漸近線： $n$ が整数である $x = - 3 π + 4 π n$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

垂直漸近線： $n$ が整数である $x = - 3 π + 4 π n$

ステップ 2

式 $a \tan (b x - c) + d$ を利用して振幅、周期、位相シフト、垂直偏移を求めるための変数を求めます。

$a = 5$

$b = \frac{1}{4}$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = - 2$

ステップ 3

関数 $t a n$ のグラフに最大値や最小値がないので、偏角の値はありません。

偏角：なし

ステップ 4

公式 $\frac{π}{| b |}$ を利用して周期を求めます。

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ステップ 4.1

$5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ の周期を求めます。

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ステップ 4.1.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.1.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{4}$ で置き換えます。

$\frac{π}{| \frac{1}{4} |}$

ステップ 4.1.3

$\frac{1}{4}$ は約 $0.25$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

ステップ 4.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$π \cdot 4$

ステップ 4.1.5

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$4 π$

ステップ 4.2

$- 2$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.2.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{4}$ で置き換えます。

$\frac{π}{| \frac{1}{4} |}$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{4}$ は約 $0.25$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

ステップ 4.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$π \cdot 4$

ステップ 4.2.5

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$4 π$

ステップ 4.3

三角関数の加法／減法の周期は個々の周期の最大です。

$4 π$

ステップ 5

公式 $\frac{c}{b}$ を利用して位相シフトを求めます。

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ステップ 5.1

関数の位相シフトは $\frac{c}{b}$ から求めることができます。

位相シフト： $\frac{c}{b}$

ステップ 5.2

位相シフトの方程式の $c$ と $b$ の値を置き換えます。

位相シフト： $\frac{- \frac{π}{4}}{\frac{1}{4}}$

ステップ 5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

位相シフト： $- \frac{π}{4} \cdot 4$

ステップ 5.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$- \frac{π}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

位相シフト： $\frac{- π}{4} \cdot 4$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

位相シフト： $\frac{- π}{4} \cdot 4$

ステップ 5.4.3

式を書き換えます。

位相シフト： $- π$

ステップ 6

三角関数の特性を記載します。

偏角：なし

周期： $4 π$

位相シフト： $- π$ （ $π$ の左）

垂直偏移： $- 2$

ステップ 7

偏角、周期、位相シフト、垂直偏移、および点を使用して三角関数をグラフに描くことができます。

垂直漸近線： $n$ が整数である $x = - 3 π + 4 π n$

偏角：なし

周期： $4 π$

位相シフト： $- π$ （ $π$ の左）

垂直偏移： $- 2$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例