微分積分学準備例

$f (x) = 3 \log (x + 5) + 2$

ステップ 1

漸近線を求めます。

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ステップ 1.1

式 $\log ({(x + 5)}^{3}) + 2$ が未定義である場所を求めます。

$x \leq - 5$

ステップ 1.2

$\log ({(x + 5)}^{3}) + 2$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $- 5$ 、 $\log ({(x + 5)}^{3}) + 2$ $\to$ $- \infty$ を右から $x$ $\to$ $- 5$ としているので、 $x = - 5$ は垂直漸近線です。

$x = - 5$

ステップ 1.3

対数を無視して、 $n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 1.4

$Q (x)$ が $1$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 1.5

対数関数と三角関数の斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 1.6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - 5$

水平漸近線がありません

垂直漸近線： $x = - 5$

水平漸近線がありません

ステップ 2

$x = - 4$ で点を求めます。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f (- 4) = 3 \log ((- 4) + 5) + 2$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$- 4$ と $5$ をたし算します。

$f (- 4) = 3 \log (1) + 2$

ステップ 2.2.1.2

$1$ の対数の底 $10$ は $0$ です。

$f (- 4) = 3 \cdot 0 + 2$

ステップ 2.2.1.3

$3$ に $0$ をかけます。

$f (- 4) = 0 + 2$

ステップ 2.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$f (- 4) = 2$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 2.3

$2$ を10進数に変換します。

$y = 2$

ステップ 3

$x = 5$ で点を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f (5) = 3 \log ((5) + 5) + 2$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$5$ と $5$ をたし算します。

$f (5) = 3 \log (10) + 2$

ステップ 3.2.1.2

$10$ の対数の底 $10$ は $1$ です。

$f (5) = 3 \cdot 1 + 2$

ステップ 3.2.1.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f (5) = 3 + 2$

ステップ 3.2.2

$3$ と $2$ をたし算します。

$f (5) = 5$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $5$ です。

$5$

ステップ 3.3

$5$ を10進数に変換します。

$y = 5$

ステップ 4

$x = - 3$ で点を求めます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = 3 \log ((- 3) + 5) + 2$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 3$ と $5$ をたし算します。

$f (- 3) = 3 \log (2) + 2$

ステップ 4.2.1.2

対数の中の $3$ を移動させて $3 \log (2)$ を簡約します。

$f (- 3) = \log (2^{3}) + 2$

ステップ 4.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$f (- 3) = \log (8) + 2$

ステップ 4.2.2

最終的な答えは $\log (8) + 2$ です。

$\log (8) + 2$

ステップ 4.3

$\log (8) + 2$ を10進数に変換します。

$y = 2.90308998$

ステップ 5

対数関数は、 $x = - 5$ における垂直漸近線と点 $(- 4, 2), (5, 5), (- 3, 2.90308998)$ を利用してグラフにすることができます。

垂直漸近線： $x = - 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 2 \\ - 3 & 2.903 \\ 5 & 5 \end{array}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例