微分積分学準備例

$\sqrt{x} + x = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$\sqrt{x} = 1 - x$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x}}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = {(1 - x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$x = {(1 - x)}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

${(1 - x)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

${(1 - x)}^{2}$ を $(1 - x) (1 - x)$ に書き換えます。

$x = (1 - x) (1 - x)$

ステップ 3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - x) (1 - x)$ を展開します。

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ステップ 3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x = 1 (1 - x) - x (1 - x)$

ステップ 3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)$

ステップ 3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)$

ステップ 3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$x = 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)$

ステップ 3.3.1.3.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$x = 1 - x - x \cdot 1 - x (- x)$

ステップ 3.3.1.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x = 1 - x - x - x (- x)$

ステップ 3.3.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

ステップ 3.3.1.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$x = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

ステップ 3.3.1.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = 1 - x - x + 1 x^{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x = 1 - x - x + x^{2}$

ステップ 3.3.1.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$x = 1 - 2 x + x^{2}$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$1 - 2 x + x^{2} = x$

ステップ 4.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$1 - 2 x + x^{2} - x = 0$

ステップ 4.2.2

$- 2 x$ から $x$ を引きます。

$1 + x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 4.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.4

$a = 1$ 、 $b = - 3$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 4.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.3

$9$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

ステップ 4.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 5

$\sqrt{x} + x = 1$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

10進法形式：

$x = 0.38196601 \dots$

微分積分学準備 例

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