微分積分学準備例

$f (x) = x^{2} + 3 x + \frac{1}{4}$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x^{2} + 3 x + \frac{1}{4}$ の平方完成。

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ステップ 1.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 3$

$c = \frac{1}{4}$

ステップ 1.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{3}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$d = \frac{3}{2}$

ステップ 1.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{1}{4} - \frac{3^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{1}{4} - \frac{9}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = \frac{1}{4} - \frac{9}{4}$

ステップ 1.1.1.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{1 - 9}{4}$

ステップ 1.1.1.4.2.3

$1$ から $9$ を引きます。

$e = \frac{- 8}{4}$

ステップ 1.1.1.4.2.4

$- 8$ を $4$ で割ります。

$e = - 2$

ステップ 1.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + \frac{3}{2})}^{2} - 2$ に代入します。

${(x + \frac{3}{2})}^{2} - 2$

ステップ 1.1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = {(x + \frac{3}{2})}^{2} - 2$

ステップ 1.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 1$

$h = - \frac{3}{2}$

$k = - 2$

ステップ 1.3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- \frac{3}{2}, - 2)$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{3}{2}, - \frac{7}{4})$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - \frac{3}{2}$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{9}{4}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- \frac{3}{2}, - 2)$

焦点： $(- \frac{3}{2}, - \frac{7}{4})$

対称軸： $x = - \frac{3}{2}$

準線： $y = - \frac{9}{4}$

方向：上に開

頂点： $(- \frac{3}{2}, - 2)$

焦点： $(- \frac{3}{2}, - \frac{7}{4})$

対称軸： $x = - \frac{3}{2}$

準線： $y = - \frac{9}{4}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = {(- 3)}^{2} + 3 (- 3) + \frac{1}{4}$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f (- 3) = 9 + 3 (- 3) + \frac{1}{4}$

ステップ 2.2.1.2

$3$ に $- 3$ をかけます。

$f (- 3) = 9 - 9 + \frac{1}{4}$

ステップ 2.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 2.2.2.1

$9$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 3) = \frac{9}{1} - 9 + \frac{1}{4}$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{9}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4} - 9 + \frac{1}{4}$

ステップ 2.2.2.3

$\frac{9}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{9 \cdot 4}{4} - 9 + \frac{1}{4}$

ステップ 2.2.2.4

$- 9$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 3) = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} + \frac{1}{4}$

ステップ 2.2.2.5

$\frac{- 9}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

ステップ 2.2.2.6

$\frac{- 9}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

ステップ 2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- 3) = \frac{9 \cdot 4 - 9 \cdot 4 + 1}{4}$

ステップ 2.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$9$ に $4$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{36 - 9 \cdot 4 + 1}{4}$

ステップ 2.2.4.2

$- 9$ に $4$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{36 - 36 + 1}{4}$

ステップ 2.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$36$ から $36$ を引きます。

$f (- 3) = \frac{0 + 1}{4}$

ステップ 2.2.5.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (- 3) = \frac{1}{4}$

ステップ 2.2.6

最終的な答えは $\frac{1}{4}$ です。

$\frac{1}{4}$

ステップ 2.3

$x = - 3$ における $y$ 値は $\frac{1}{4}$ です。

$y = \frac{1}{4}$

ステップ 2.4

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f (- 4) = {(- 4)}^{2} + 3 (- 4) + \frac{1}{4}$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f (- 4) = 16 + 3 (- 4) + \frac{1}{4}$

ステップ 2.5.1.2

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f (- 4) = 16 - 12 + \frac{1}{4}$

ステップ 2.5.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$16$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 4) = \frac{16}{1} - 12 + \frac{1}{4}$

ステップ 2.5.2.2

$\frac{16}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 4) = \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4} - 12 + \frac{1}{4}$

ステップ 2.5.2.3

$\frac{16}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 4) = \frac{16 \cdot 4}{4} - 12 + \frac{1}{4}$

ステップ 2.5.2.4

$- 12$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 4) = \frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{- 12}{1} + \frac{1}{4}$

ステップ 2.5.2.5

$\frac{- 12}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 4) = \frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

ステップ 2.5.2.6

$\frac{- 12}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 4) = \frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{- 12 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

ステップ 2.5.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- 4) = \frac{16 \cdot 4 - 12 \cdot 4 + 1}{4}$

ステップ 2.5.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

$16$ に $4$ をかけます。

$f (- 4) = \frac{64 - 12 \cdot 4 + 1}{4}$

ステップ 2.5.4.2

$- 12$ に $4$ をかけます。

$f (- 4) = \frac{64 - 48 + 1}{4}$

ステップ 2.5.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1

$64$ から $48$ を引きます。

$f (- 4) = \frac{16 + 1}{4}$

ステップ 2.5.5.2

$16$ と $1$ をたし算します。

$f (- 4) = \frac{17}{4}$

ステップ 2.5.6

最終的な答えは $\frac{17}{4}$ です。

$\frac{17}{4}$

ステップ 2.6

$x = - 4$ における $y$ 値は $\frac{17}{4}$ です。

$y = \frac{17}{4}$

ステップ 2.7

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 3 (- 1) + \frac{1}{4}$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = 1 + 3 (- 1) + \frac{1}{4}$

ステップ 2.8.1.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = 1 - 3 + \frac{1}{4}$

ステップ 2.8.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 1) = \frac{1}{1} - 3 + \frac{1}{4}$

ステップ 2.8.2.2

$\frac{1}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} - 3 + \frac{1}{4}$

ステップ 2.8.2.3

$\frac{1}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{4}{4} - 3 + \frac{1}{4}$

ステップ 2.8.2.4

$- 3$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 1) = \frac{4}{4} + \frac{- 3}{1} + \frac{1}{4}$

ステップ 2.8.2.5

$\frac{- 3}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{4}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

ステップ 2.8.2.6

$\frac{- 3}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{4}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

ステップ 2.8.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- 1) = \frac{4 - 3 \cdot 4 + 1}{4}$

ステップ 2.8.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.4.1

$- 3$ に $4$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{4 - 12 + 1}{4}$

ステップ 2.8.4.2

$4$ から $12$ を引きます。

$f (- 1) = \frac{- 8 + 1}{4}$

ステップ 2.8.4.3

$- 8$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = \frac{- 7}{4}$

ステップ 2.8.4.4

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 1) = - \frac{7}{4}$

ステップ 2.8.5

最終的な答えは $- \frac{7}{4}$ です。

$- \frac{7}{4}$

ステップ 2.9

$x = - 1$ における $y$ 値は $- \frac{7}{4}$ です。

$y = - \frac{7}{4}$

ステップ 2.10

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{2} + 3 (0) + \frac{1}{4}$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 3 (0) + \frac{1}{4}$

ステップ 2.11.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + \frac{1}{4}$

ステップ 2.11.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + \frac{1}{4}$

ステップ 2.11.2.2

$0$ と $\frac{1}{4}$ をたし算します。

$f (0) = \frac{1}{4}$

ステップ 2.11.3

最終的な答えは $\frac{1}{4}$ です。

$\frac{1}{4}$

ステップ 2.12

$x = 0$ における $y$ 値は $\frac{1}{4}$ です。

$y = \frac{1}{4}$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & \frac{17}{4} \\ - 3 & \frac{1}{4} \\ - \frac{3}{2} & - 2 \\ - 1 & - \frac{7}{4} \\ 0 & \frac{1}{4} \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- \frac{3}{2}, - 2)$

焦点： $(- \frac{3}{2}, - \frac{7}{4})$

対称軸： $x = - \frac{3}{2}$

準線： $y = - \frac{9}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & \frac{17}{4} \\ - 3 & \frac{1}{4} \\ - \frac{3}{2} & - 2 \\ - 1 & - \frac{7}{4} \\ 0 & \frac{1}{4} \end{array}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

微分積分学準備例