微分積分学準備例

$f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 4$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$- 2 x^{2} - 5 x - 4$ の平方完成。

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ステップ 1.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 2$

$b = - 5$

$c = - 4$

ステップ 1.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 2}$

ステップ 1.1.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$d = \frac{- 5}{- 4}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$d = \frac{5}{4}$

ステップ 1.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 4 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

ステップ 1.1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$e = - 4 - \frac{25}{4 \cdot - 2}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$e = - 4 - \frac{25}{- 8}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$e = - 4 - - \frac{25}{8}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.4

$- - \frac{25}{8}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.1.4.2.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = - 4 + 1 (\frac{25}{8})$

ステップ 1.1.1.4.2.1.4.2

$\frac{25}{8}$ に $1$ をかけます。

$e = - 4 + \frac{25}{8}$

ステップ 1.1.1.4.2.2

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$e = - 4 \cdot \frac{8}{8} + \frac{25}{8}$

ステップ 1.1.1.4.2.3

$- 4$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$e = \frac{- 4 \cdot 8}{8} + \frac{25}{8}$

ステップ 1.1.1.4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 4 \cdot 8 + 25}{8}$

ステップ 1.1.1.4.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.5.1

$- 4$ に $8$ をかけます。

$e = \frac{- 32 + 25}{8}$

ステップ 1.1.1.4.2.5.2

$- 32$ と $25$ をたし算します。

$e = \frac{- 7}{8}$

ステップ 1.1.1.4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{7}{8}$

ステップ 1.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 2 {(x + \frac{5}{4})}^{2} - \frac{7}{8}$ に代入します。

$- 2 {(x + \frac{5}{4})}^{2} - \frac{7}{8}$

ステップ 1.1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - 2 {(x + \frac{5}{4})}^{2} - \frac{7}{8}$

ステップ 1.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - 2$

$h = - \frac{5}{4}$

$k = - \frac{7}{8}$

ステップ 1.3

$a$ の値が負なので、放物線は下に開です。

下に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- \frac{5}{4}, - \frac{7}{8})$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

ステップ 1.5.3

簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{1}{- 8}$

ステップ 1.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{8}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{5}{4}, - 1)$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - \frac{5}{4}$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{3}{4}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(- \frac{5}{4}, - \frac{7}{8})$

焦点： $(- \frac{5}{4}, - 1)$

対称軸： $x = - \frac{5}{4}$

準線： $y = - \frac{3}{4}$

方向：下に開

頂点： $(- \frac{5}{4}, - \frac{7}{8})$

焦点： $(- \frac{5}{4}, - 1)$

対称軸： $x = - \frac{5}{4}$

準線： $y = - \frac{3}{4}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 4$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

指数を足して $- 2$ に ${(- 2)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$- 2$ に ${(- 2)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 2.2.1.1.1.1

$- 2$ を $1$ 乗します。

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 4$

ステップ 2.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 2} - 5 \cdot - 2 - 4$

ステップ 2.2.1.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 5 \cdot - 2 - 4$

ステップ 2.2.1.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f (- 2) = - 8 - 5 \cdot - 2 - 4$

ステップ 2.2.1.3

$- 5$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = - 8 + 10 - 4$

ステップ 2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$- 8$ と $10$ をたし算します。

$f (- 2) = 2 - 4$

ステップ 2.2.2.2

$2$ から $4$ を引きます。

$f (- 2) = - 2$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 2.3

$x = - 2$ における $y$ 値は $- 2$ です。

$y = - 2$

ステップ 2.4

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = - 2 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 - 4$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f (- 3) = - 2 \cdot 9 - 5 \cdot - 3 - 4$

ステップ 2.5.1.2

$- 2$ に $9$ をかけます。

$f (- 3) = - 18 - 5 \cdot - 3 - 4$

ステップ 2.5.1.3

$- 5$ に $- 3$ をかけます。

$f (- 3) = - 18 + 15 - 4$

ステップ 2.5.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$- 18$ と $15$ をたし算します。

$f (- 3) = - 3 - 4$

ステップ 2.5.2.2

$- 3$ から $4$ を引きます。

$f (- 3) = - 7$

ステップ 2.5.3

最終的な答えは $- 7$ です。

$- 7$

ステップ 2.6

$x = - 3$ における $y$ 値は $- 7$ です。

$y = - 7$

ステップ 2.7

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - 2 {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 - 4$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

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ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.8.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0 - 4$

ステップ 2.8.1.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 - 4$

ステップ 2.8.1.3

$- 5$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - 4$

ステップ 2.8.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.8.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 - 4$

ステップ 2.8.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$f (0) = - 4$

ステップ 2.8.3

最終的な答えは $- 4$ です。

$- 4$

ステップ 2.9

$x = 0$ における $y$ 値は $- 4$ です。

$y = - 4$

ステップ 2.10

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = - 2 {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 - 4$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

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ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.11.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = - 2 \cdot 1 - 5 \cdot 1 - 4$

ステップ 2.11.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - 2 - 5 \cdot 1 - 4$

ステップ 2.11.1.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - 2 - 5 - 4$

ステップ 2.11.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 2.11.2.1

$- 2$ から $5$ を引きます。

$f (1) = - 7 - 4$

ステップ 2.11.2.2

$- 7$ から $4$ を引きます。

$f (1) = - 11$

ステップ 2.11.3

最終的な答えは $- 11$ です。

$- 11$

ステップ 2.12

$x = 1$ における $y$ 値は $- 11$ です。

$y = - 11$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 7 \\ - 2 & - 2 \\ - \frac{5}{4} & - \frac{7}{8} \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 11 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(- \frac{5}{4}, - \frac{7}{8})$

焦点： $(- \frac{5}{4}, - 1)$

対称軸： $x = - \frac{5}{4}$

準線： $y = - \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 7 \\ - 2 & - 2 \\ - \frac{5}{4} & - \frac{7}{8} \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 11 \end{array}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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