微分積分学準備例

${(5 a + 2)}^{3}$

ステップ 1

二項展開定理を利用して各項を求めます。二項定理は ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ を述べたものです。

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(5 a)}^{3 - k} \cdot {(2)}^{k}$

ステップ 2

総和を展開します。

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(5 a)}^{3 - 0} \cdot {(2)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(5 a)}^{3 - 1} \cdot {(2)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(5 a)}^{3 - 2} \cdot {(2)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(5 a)}^{3 - 3} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 3

展開の各項の指数を簡約します。

$1 \cdot {(5 a)}^{3} \cdot {(2)}^{0} + 3 \cdot {(5 a)}^{2} \cdot {(2)}^{1} + 3 \cdot {(5 a)}^{1} \cdot {(2)}^{2} + 1 \cdot {(5 a)}^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

${(5 a)}^{3}$ に $1$ をかけます。

${(5 a)}^{3} \cdot {(2)}^{0} + 3 \cdot {(5 a)}^{2} \cdot {(2)}^{1} + 3 \cdot {(5 a)}^{1} \cdot {(2)}^{2} + 1 \cdot {(5 a)}^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.2

積の法則を $5 a$ に当てはめます。

$5^{3} a^{3} \cdot {(2)}^{0} + 3 \cdot {(5 a)}^{2} \cdot {(2)}^{1} + 3 \cdot {(5 a)}^{1} \cdot {(2)}^{2} + 1 \cdot {(5 a)}^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.3

$5$ を $3$ 乗します。

$125 a^{3} \cdot {(2)}^{0} + 3 \cdot {(5 a)}^{2} \cdot {(2)}^{1} + 3 \cdot {(5 a)}^{1} \cdot {(2)}^{2} + 1 \cdot {(5 a)}^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$125 a^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(5 a)}^{2} \cdot {(2)}^{1} + 3 \cdot {(5 a)}^{1} \cdot {(2)}^{2} + 1 \cdot {(5 a)}^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.5

$125$ に $1$ をかけます。

$125 a^{3} + 3 \cdot {(5 a)}^{2} \cdot {(2)}^{1} + 3 \cdot {(5 a)}^{1} \cdot {(2)}^{2} + 1 \cdot {(5 a)}^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.6

積の法則を $5 a$ に当てはめます。

$125 a^{3} + 3 \cdot (5^{2} a^{2}) \cdot {(2)}^{1} + 3 \cdot {(5 a)}^{1} \cdot {(2)}^{2} + 1 \cdot {(5 a)}^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.7

$5$ を $2$ 乗します。

$125 a^{3} + 3 \cdot (25 a^{2}) \cdot {(2)}^{1} + 3 \cdot {(5 a)}^{1} \cdot {(2)}^{2} + 1 \cdot {(5 a)}^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.8

$25$ に $3$ をかけます。

$125 a^{3} + 75 a^{2} \cdot {(2)}^{1} + 3 \cdot {(5 a)}^{1} \cdot {(2)}^{2} + 1 \cdot {(5 a)}^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.9

指数を求めます。

$125 a^{3} + 75 a^{2} \cdot 2 + 3 \cdot {(5 a)}^{1} \cdot {(2)}^{2} + 1 \cdot {(5 a)}^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.10

$2$ に $75$ をかけます。

$125 a^{3} + 150 a^{2} + 3 \cdot {(5 a)}^{1} \cdot {(2)}^{2} + 1 \cdot {(5 a)}^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.11

簡約します。

$125 a^{3} + 150 a^{2} + 3 \cdot (5 a) \cdot {(2)}^{2} + 1 \cdot {(5 a)}^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.12

$5$ に $3$ をかけます。

$125 a^{3} + 150 a^{2} + 15 a \cdot {(2)}^{2} + 1 \cdot {(5 a)}^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.13

$2$ を $2$ 乗します。

$125 a^{3} + 150 a^{2} + 15 a \cdot 4 + 1 \cdot {(5 a)}^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.14

$4$ に $15$ をかけます。

$125 a^{3} + 150 a^{2} + 60 a + 1 \cdot {(5 a)}^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.15

${(5 a)}^{0}$ に $1$ をかけます。

$125 a^{3} + 150 a^{2} + 60 a + {(5 a)}^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.16

積の法則を $5 a$ に当てはめます。

$125 a^{3} + 150 a^{2} + 60 a + 5^{0} a^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.17

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$125 a^{3} + 150 a^{2} + 60 a + 1 a^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.18

$a^{0}$ に $1$ をかけます。

$125 a^{3} + 150 a^{2} + 60 a + a^{0} \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.19

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$125 a^{3} + 150 a^{2} + 60 a + 1 \cdot {(2)}^{3}$

ステップ 4.20

${(2)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$125 a^{3} + 150 a^{2} + 60 a + {(2)}^{3}$

ステップ 4.21

$2$ を $3$ 乗します。

$125 a^{3} + 150 a^{2} + 60 a + 8$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例