微分積分学準備例

$(\frac{π}{2}, π)$

ステップ 1

x軸と点 $(0, 0)$ と点 $(\frac{π}{2}, π)$ を結ぶ線との間の $\sin (θ)$ を求めるために、3点 $(0, 0)$ 、 $(\frac{π}{2}, 0)$ 、 $(\frac{π}{2}, π)$ で三角形を描きます。

反対： $π$

隣接： $\frac{π}{2}$

ステップ 2

ピタゴラスの定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して斜辺を求めます。

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ステップ 2.1

積の法則を $\frac{π}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{π^{2}}{2^{2}} + {(π)}^{2}}$

ステップ 2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{π^{2}}{4} + {(π)}^{2}}$

ステップ 2.3

$π^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{π^{2}}{4} + π^{2} \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 2.4

$π^{2}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{π^{2}}{4} + \frac{π^{2} \cdot 4}{4}}$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{π^{2} + π^{2} \cdot 4}{4}}$

ステップ 2.6

因数分解した形で $\frac{π^{2} + π^{2} \cdot 4}{4}$ を書き換えます。

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ステップ 2.6.1

$4$ を $π^{2}$ の左に移動させます。

$\sqrt{\frac{π^{2} + 4 \cdot π^{2}}{4}}$

ステップ 2.6.2

$π^{2}$ と $4 π^{2}$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{5 π^{2}}{4}}$

ステップ 2.7

$\sqrt{\frac{5 π^{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{5 π^{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5 π^{2}}}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.8

分子を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$5$ と $π^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{\sqrt{π^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.8.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{π \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.9

分母を簡約します。

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ステップ 2.9.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{π \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 2.9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{π \sqrt{5}}{2}$

ステップ 3

$\sin (θ) = \frac{反対}{斜辺}$ ゆえに $\sin (θ) = \frac{π}{\frac{π \sqrt{5}}{2}}$ 。

$\frac{π}{\frac{π \sqrt{5}}{2}}$

ステップ 4

$\sin (θ)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sin (θ) = π (\frac{2}{π \sqrt{5}})$

ステップ 4.2

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$π$ を $π \sqrt{5}$ で因数分解します。

$\sin (θ) = π (\frac{2}{π (\sqrt{5})})$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

$\sin (θ) = π (\frac{2}{π \sqrt{5}})$

ステップ 4.2.3

式を書き換えます。

$\sin (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

ステップ 4.3

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\sin (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

ステップ 4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.4.1

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 4.4.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 4.4.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 4.4.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

ステップ 4.4.6.5

指数を求めます。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

ステップ 5

結果の近似値を求めます。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \approx 0.89442719$

微分積分学準備 例

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