微分積分学準備例

$\sqrt{x + 1} - 3 x = 1$

ステップ 1

方程式の両辺に $3 x$ を足します。

$\sqrt{x + 1} = 1 + 3 x$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x + 1}}^{2} = {(1 + 3 x)}^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 1}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + 3 x)}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + 3 x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + 3 x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x + 1)}^{1} = {(1 + 3 x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$x + 1 = {(1 + 3 x)}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

${(1 + 3 x)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

${(1 + 3 x)}^{2}$ を $(1 + 3 x) (1 + 3 x)$ に書き換えます。

$x + 1 = (1 + 3 x) (1 + 3 x)$

ステップ 3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + 3 x) (1 + 3 x)$ を展開します。

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ステップ 3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x + 1 = 1 (1 + 3 x) + 3 x (1 + 3 x)$

ステップ 3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 (3 x) + 3 x (1 + 3 x)$

ステップ 3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 (3 x) + 3 x \cdot 1 + 3 x (3 x)$

ステップ 3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$x + 1 = 1 + 1 (3 x) + 3 x \cdot 1 + 3 x (3 x)$

ステップ 3.3.1.3.1.2

$3 x$ に $1$ をかけます。

$x + 1 = 1 + 3 x + 3 x \cdot 1 + 3 x (3 x)$

ステップ 3.3.1.3.1.3

$3$ に $1$ をかけます。

$x + 1 = 1 + 3 x + 3 x + 3 x (3 x)$

ステップ 3.3.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$x + 1 = 1 + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3 x \cdot x$

ステップ 3.3.1.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$x + 1 = 1 + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3 (x \cdot x)$

ステップ 3.3.1.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x + 1 = 1 + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3 x^{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.6

$3$ に $3$ をかけます。

$x + 1 = 1 + 3 x + 3 x + 9 x^{2}$

ステップ 3.3.1.3.2

$3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$x + 1 = 1 + 6 x + 9 x^{2}$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$1 + 6 x + 9 x^{2} = x + 1$

ステップ 4.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$1 + 6 x + 9 x^{2} - x = 1$

ステップ 4.2.2

$6 x$ から $x$ を引きます。

$1 + 9 x^{2} + 5 x = 1$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$1 + 9 x^{2} + 5 x - 1 = 0$

ステップ 4.4

$1 + 9 x^{2} + 5 x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$9 x^{2} + 5 x + 0 = 0$

ステップ 4.4.2

$9 x^{2} + 5 x$ と $0$ をたし算します。

$9 x^{2} + 5 x = 0$

ステップ 4.5

$x$ を $9 x^{2} + 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.1

$x$ を $9 x^{2}$ で因数分解します。

$x (9 x) + 5 x = 0$

ステップ 4.5.2

$x$ を $5 x$ で因数分解します。

$x (9 x) + x \cdot 5 = 0$

ステップ 4.5.3

$x$ を $x (9 x) + x \cdot 5$ で因数分解します。

$x (9 x + 5) = 0$

ステップ 4.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$9 x + 5 = 0$

ステップ 4.7

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 4.8

$9 x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.8.1

$9 x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$9 x + 5 = 0$

ステップ 4.8.2

$x$ について $9 x + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.8.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$9 x = - 5$

ステップ 4.8.2.2

$9 x = - 5$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.8.2.2.1

$9 x = - 5$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 5}{9}$

ステップ 4.8.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.8.2.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.8.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 5}{9}$

ステップ 4.8.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{9}$

ステップ 4.8.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.8.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5}{9}$

ステップ 4.9

最終解は $x (9 x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{5}{9}$

ステップ 5

$\sqrt{x + 1} - 3 x = 1$ が真にならない解を除外します。

$x = 0$

微分積分学準備 例

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