微分積分学準備例

$| x^{2} + 4 x + 4 |$

ステップ 1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x^{2} + 4 x + 4 \geq 0$

ステップ 2

不等式を解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} + 4 x + 4 = 0$

ステップ 2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} + 4 x + 2^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 2.2.3

多項式を書き換えます。

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

ステップ 2.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$x > - 2$

ステップ 2.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.6.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.6.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 2.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

${(- 4)}^{2} + 4 (- 4) + 4 \geq 0$

ステップ 2.6.1.3

左辺 $4$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

True

ステップ 2.6.2

区間 $x > - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.6.2.1

区間 $x > - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} + 4 (0) + 4 \geq 0$

ステップ 2.6.2.3

左辺 $4$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

True

ステップ 2.6.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 真

$x > - 2$ 真

$x < - 2$ 真

$x > - 2$ 真

ステップ 2.7

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 2$ または $x \geq - 2$

ステップ 2.8

区間をまとめます。

すべての実数

すべての実数

ステップ 3

$x^{2} + 4 x + 4$ が負になることはないので、絶対値は取り除けません。

$x^{2} + 4 x + 4$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$