微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{4} - 16 x^{2} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{4} - 16 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x^{2}$ を $x^{4} - 16 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} - 16 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.1.2

$x^{2}$ を $- 16 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ で因数分解します。

$x^{2} (x^{2} - 16) = 0$

ステップ 2.2.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} (x^{2} - 4^{2}) = 0$

ステップ 2.2.3

因数分解。

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ステップ 2.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$x^{2} ((x + 4) (x - 4)) = 0$

ステップ 2.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.6

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.7

最終解は $x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 4, 4$

ステップ 2.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 2.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.9.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 2.9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

${(- 6)}^{4} - 16 {(- 6)}^{2} \geq 0$

ステップ 2.9.1.3

左辺 $720$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.9.2

区間 $- 4 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.2.1

区間 $- 4 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 2.9.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

${(- 2)}^{4} - 16 {(- 2)}^{2} \geq 0$

ステップ 2.9.2.3

左辺 $- 48$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.9.3

区間 $0 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.3.1

区間 $0 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 2.9.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

${(2)}^{4} - 16 {(2)}^{2} \geq 0$

ステップ 2.9.3.3

左辺 $- 48$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.9.4

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.4.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 2.9.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

${(6)}^{4} - 16 {(6)}^{2} \geq 0$

ステップ 2.9.4.3

左辺 $720$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.9.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < 0$ 偽

$0 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < 0$ 偽

$0 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

ステップ 2.10

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 4$ または $x \geq 4$ または $x = 0$

ステップ 2.11

区間をまとめます。

$x \leq - 4 or x = 0 or x \geq 4$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

ステップ 4

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \geq 0}$

ステップ 5

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty), {x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

値域： $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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