微分積分学準備例

$2 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) + 1 = 0$

ステップ 1

群による因数分解。

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ステップ 1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ で和が $b = - 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$- 3$ を $- 3 \sin (θ)$ で因数分解します。

$2 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) + 1 = 0$

ステップ 1.1.2

$- 3$ を $- 1$ プラス $- 2$ に書き換える

$2 \sin^{2} (θ) + (- 1 - 2) \sin (θ) + 1 = 0$

ステップ 1.1.3

分配則を当てはめます。

$2 \sin^{2} (θ) - 1 \sin (θ) - 2 \sin (θ) + 1 = 0$

ステップ 1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 \sin^{2} (θ) - 1 \sin (θ) - 2 \sin (θ) + 1 = 0$

ステップ 1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) - (2 \sin (θ) - 1) = 0$

ステップ 1.3

最大公約数 $2 \sin (θ) - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 \sin (θ) - 1) (\sin (θ) - 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

$\sin (θ) - 1 = 0$

ステップ 3

$2 \sin (θ) - 1$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 3.1

$2 \sin (θ) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

ステップ 3.2

$θ$ について $2 \sin (θ) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 \sin (θ) = 1$

ステップ 3.2.2

$2 \sin (θ) = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 \sin (θ) = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$\sin (θ)$ を $1$ で割ります。

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 3.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$θ = \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$θ = π - \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.6

$π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.6.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 3.2.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.6.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 3.2.6.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$θ = \frac{5 π}{6}$

ステップ 3.2.7

$\sin (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.2.8

$\sin (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\sin (θ) - 1$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\sin (θ) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (θ) - 1 = 0$

ステップ 4.2

$θ$ について $\sin (θ) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\sin (θ) = 1$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arcsin (1)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$θ = \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$θ = π - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.5

$π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$θ = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.5.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.5.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$θ = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 4.2.5.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.5.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$θ = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 4.2.5.3.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$θ = \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.6

$\sin (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.7

$\sin (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

最終解は $(2 \sin (θ) - 1) (\sin (θ) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

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