微分積分学準備例

$- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

ステップ 1

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 2

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 3

$a = - 2 \sqrt{2}$ と $b = 2 \sqrt{2}$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 4

$| z |$ を求めます。

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ステップ 4.1

式を簡約します。

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ステップ 4.1.1

積の法則を $2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 4.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 4.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 4.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 4.2.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2 + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 4.2.5

指数を求めます。

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2 + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$| z | = \sqrt{8 + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 4.3.2

積の法則を $- 2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{8 + {(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 4.3.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{8 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 4.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 4.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{8 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.4.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2}$

ステップ 4.4.5

指数を求めます。

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2}$

ステップ 4.5

式を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$4$ に $2$ をかけます。

$| z | = \sqrt{8 + 8}$

ステップ 4.5.2

$8$ と $8$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{16}$

ステップ 4.5.3

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

ステップ 4.5.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 4$

ステップ 5

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{2 \sqrt{2}}{- 2 \sqrt{2}})$

ステップ 6

$\frac{2 \sqrt{2}}{- 2 \sqrt{2}}$ の逆正接が第二象限で角を作るので、角の値は $\frac{3 π}{4}$ です。

$θ = \frac{3 π}{4}$

ステップ 7

$θ = \frac{3 π}{4}$ と $| z | = 4$ の値を代入します。

$4 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$

微分積分学準備 例

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