微分積分学準備例

${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{18}$

ステップ 1

二項展開定理を利用して各項を求めます。二項定理は ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ を述べたものです。

$\sum_{k = 0}^{18} \frac{18!}{(18 - k)! k!} \cdot {(x^{2})}^{18 - k} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{k}$

ステップ 2

総和を展開します。

$\frac{18!}{(18 - 0)! 0!} \cdot {(x^{2})}^{18 - 0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{0} + \frac{18!}{(18 - 1)! 1!} \cdot {(x^{2})}^{18 - 1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + \dots + \frac{18!}{(18 - 18)! 18!} \cdot {(x^{2})}^{18 - 18} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{18}$

ステップ 3

展開の各項の指数を簡約します。

$1 \cdot {(x^{2})}^{18} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{0} + 18 \cdot {(x^{2})}^{17} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + \dots + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{18}$

ステップ 4

多項式の結果を簡約します。

$x^{36} - 18 x^{33} + 153 x^{30} - 816 x^{27} + 3060 x^{24} - 8568 x^{21} + 18564 x^{18} - 31824 x^{15} + 43758 x^{12} - 48620 x^{9} + 43758 x^{6} - 31824 x^{3} + 18564 - \frac{8568}{x^{3}} + \frac{3060}{x^{6}} - \frac{816}{x^{9}} + \frac{153}{x^{12}} - \frac{18}{x^{15}} + \frac{1}{x^{18}}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例