微分積分学準備例

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 1$

ステップ 1

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 1$ を方程式で書きます。

$y = 2 x^{2} - 4 x - 1$

ステップ 2

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 2.1

$2 x^{2} - 4 x - 1$ の平方完成。

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ステップ 2.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 2$

$b = - 4$

$c = - 1$

ステップ 2.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1.3.2.1

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.3.2.1.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (2)}$

ステップ 2.1.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 2}{2}$

ステップ 2.1.3.2.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.3.2.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2}$

ステップ 2.1.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

ステップ 2.1.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.1.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{1}$

ステップ 2.1.3.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$d = - 1$

ステップ 2.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 1 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.4.2.1.1

${(- 4)}^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.2.1.1.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$e = - 1 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.1.4.2.1.1.2

積の法則を $- 1 (4)$ に当てはめます。

$e = - 1 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.1.4.2.1.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = - 1 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.1.4.2.1.1.4

$4^{2}$ に $1$ をかけます。

$e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.1.4.2.1.1.5

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.1.4.2.1.1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.2.1.1.6.1

$4$ を $4 \cdot 2$ で因数分解します。

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (2)}$

ステップ 2.1.4.2.1.1.6.2

共通因数を約分します。

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.1.4.2.1.1.6.3

式を書き換えます。

$e = - 1 - \frac{4}{2}$

ステップ 2.1.4.2.1.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.2.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.1.4.2.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.2.1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

ステップ 2.1.4.2.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.1.4.2.1.2.2.3

式を書き換えます。

$e = - 1 - \frac{2}{1}$

ステップ 2.1.4.2.1.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$e = - 1 - 1 \cdot 2$

ステップ 2.1.4.2.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$e = - 1 - 2$

ステップ 2.1.4.2.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$e = - 3$

ステップ 2.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $2 {(x - 1)}^{2} - 3$ に代入します。

$2 {(x - 1)}^{2} - 3$

ステップ 2.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = 2 {(x - 1)}^{2} - 3$

ステップ 3

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 2$

$h = 1$

$k = - 3$

ステップ 4

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 5

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(1, - 3)$

ステップ 6

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 6.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 6.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

ステップ 6.3

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{8}$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 7.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(1, - \frac{23}{8})$

ステップ 8

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 1$

ステップ 9

微分積分学準備 例

微分積分学準備例