微分積分学準備例

$f (x) = 6 x^{2} + 12 x - 1$

ステップ 1

$f (x) = 6 x^{2} + 12 x - 1$ を方程式で書きます。

$y = 6 x^{2} + 12 x - 1$

ステップ 2

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 2.1

$6 x^{2} + 12 x - 1$ の平方完成。

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ステップ 2.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 6$

$b = 12$

$c = - 1$

ステップ 2.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{12}{2 \cdot 6}$

ステップ 2.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1.3.2.1

$12$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.3.2.1.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 6}$

ステップ 2.1.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 6$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (6)}$

ステップ 2.1.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 6}$

ステップ 2.1.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{6}{6}$

ステップ 2.1.3.2.2

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{6}{6}$

ステップ 2.1.3.2.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 2.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 1 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 6}$

ステップ 2.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.4.2.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$e = - 1 - \frac{144}{4 \cdot 6}$

ステップ 2.1.4.2.1.2

$4$ に $6$ をかけます。

$e = - 1 - \frac{144}{24}$

ステップ 2.1.4.2.1.3

$144$ を $24$ で割ります。

$e = - 1 - 1 \cdot 6$

ステップ 2.1.4.2.1.4

$- 1$ に $6$ をかけます。

$e = - 1 - 6$

ステップ 2.1.4.2.2

$- 1$ から $6$ を引きます。

$e = - 7$

ステップ 2.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $6 {(x + 1)}^{2} - 7$ に代入します。

$6 {(x + 1)}^{2} - 7$

ステップ 2.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = 6 {(x + 1)}^{2} - 7$

ステップ 3

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 6$

$h = - 1$

$k = - 7$

ステップ 4

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 5

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 1, - 7)$

ステップ 6

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 6.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 6.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 6}$

ステップ 6.3

$4$ に $6$ をかけます。

$\frac{1}{24}$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 7.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 1, - \frac{167}{24})$

ステップ 8

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - 1$

ステップ 9

微分積分学準備 例

微分積分学準備例