微分積分学準備例

$f (x) = 3 x^{2} - 7$

ステップ 1

$f (x) = 3 x^{2} - 7$ を方程式で書きます。

$y = 3 x^{2} - 7$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 3 y^{2} - 7$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $3 y^{2} - 7 = x$ として書き換えます。

$3 y^{2} - 7 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$3 y^{2} = x + 7$

ステップ 3.3

$3 y^{2} = x + 7$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$3 y^{2} = x + 7$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{7}{3}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{7}{3}$

ステップ 3.3.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{x}{3} + \frac{7}{3}$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{3} + \frac{7}{3}}$

ステップ 3.5

$\pm \sqrt{\frac{x}{3} + \frac{7}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 7}{3}}$

ステップ 3.5.2

$\sqrt{\frac{x + 7}{3}}$ を $\frac{\sqrt{x + 7}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7}}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.5.3

$\frac{\sqrt{x + 7}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.5.4.1

$\frac{\sqrt{x + 7}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 3.5.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 3.5.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 3.5.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.5.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 3.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.5.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.4.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 3.5.4.6.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.5.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 7) \cdot 3}}{3}$

ステップ 3.5.6

$\pm \frac{\sqrt{(x + 7) \cdot 3}}{3}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

ステップ 3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

ステップ 3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

ステップ 3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$ が $f (x) = 3 x^{2} - 7$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = 3 x^{2} - 7$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = 3 x^{2} - 7$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- 7, \infty)$

ステップ 5.3

$\frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{3 (x + 7)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$3 (x + 7) \geq 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.3.2.1

$3 (x + 7) \geq 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.1

$3 (x + 7) \geq 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 (x + 7)}{3} \geq \frac{0}{3}$

ステップ 5.3.2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (x + 7)}{3} \geq \frac{0}{3}$

ステップ 5.3.2.1.2.1.2

$x + 7$ を $1$ で割ります。

$x + 7 \geq \frac{0}{3}$

ステップ 5.3.2.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$x + 7 \geq 0$

ステップ 5.3.2.2

不等式の両辺から $7$ を引きます。

$x \geq - 7$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- 7, \infty)$

ステップ 5.4

$f (x) = 3 x^{2} - 7$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$ の定義域が $f (x) = 3 x^{2} - 7$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$ の範囲が $f (x) = 3 x^{2} - 7$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$ は $f (x) = 3 x^{2} - 7$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例