微分積分学準備例

$g (x) = x^{3}$

ステップ 1

$g (x) = x^{3}$ を方程式で書きます。

$y = x^{3}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = y^{3}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $y^{3} = x$ として書き換えます。

$y^{3} = x$

ステップ 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{x}$

ステップ 4

Replace $y$ with $g^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x}$

ステップ 5

$g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x}$ が $g (x) = x^{3}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $g^{- 1} (g (x)) = x$ と $g (g^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$g^{- 1} (g (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$g^{- 1} (g (x))$

ステップ 5.2.2

$g^{- 1}$ に $g$ の値を代入し、 $g^{- 1} (x^{3})$ の値を求めます。

$g^{- 1} (x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

ステップ 5.2.3

括弧を削除します。

$g^{- 1} (x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

ステップ 5.2.4

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$g^{- 1} (x^{3}) = x$

ステップ 5.3

$g (g^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$g (g^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$g$ に $g^{- 1}$ の値を代入し、 $g (\sqrt[3]{x})$ の値を求めます。

$g (\sqrt[3]{x}) = {(\sqrt[3]{x})}^{3}$

ステップ 5.3.3

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$g (\sqrt[3]{x}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

ステップ 5.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$g (\sqrt[3]{x}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

ステップ 5.3.3.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$g (\sqrt[3]{x}) = x^{\frac{3}{3}}$

ステップ 5.3.3.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$g (\sqrt[3]{x}) = x^{\frac{3}{3}}$

ステップ 5.3.3.4.2

式を書き換えます。

$g (\sqrt[3]{x}) = x$

ステップ 5.3.3.5

簡約します。

$g (\sqrt[3]{x}) = x$

ステップ 5.4

$g^{- 1} (g (x)) = x$ と $g (g^{- 1} (x)) = x$ なので、 $g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x}$ は $g (x) = x^{3}$ の逆です。

$g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x}$

微分積分学準備 例

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