微分積分学準備例

$256 x^{2} + 16 y^{2} = 4096$ , $y = x^{2} - 16$

ステップ 1

各方程式の $y$ のすべての発生を $x^{2} - 16$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$256 x^{2} + 16 y^{2} = 4096$ の $y$ のすべての発生を $x^{2} - 16$ で置き換えます。

$256 x^{2} + 16 {(x^{2} - 16)}^{2} = 4096$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$256 x^{2} + 16 {(x^{2} - 16)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.1

${(x^{2} - 16)}^{2}$ を $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ に書き換えます。

$256 x^{2} + 16 ((x^{2} - 16) (x^{2} - 16)) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 1.2.1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$256 x^{2} + 16 (x^{2} (x^{2} - 16) - 16 (x^{2} - 16)) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 1.2.1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$256 x^{2} + 16 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 (x^{2} - 16)) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 1.2.1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$256 x^{2} + 16 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$256 x^{2} + 16 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 1.2.1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$256 x^{2} + 16 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 1.2.1.1.3.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$256 x^{2} + 16 (x^{4} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$256 x^{2} + 16 (x^{4} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 1.2.1.1.3.1.2

$- 16$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$256 x^{2} + 16 (x^{4} - 16 \cdot x^{2} - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 1.2.1.1.3.1.3

$- 16$ に $- 16$ をかけます。

$256 x^{2} + 16 (x^{4} - 16 x^{2} - 16 x^{2} + 256) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$256 x^{2} + 16 (x^{4} - 16 x^{2} - 16 x^{2} + 256) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 1.2.1.1.3.2

$- 16 x^{2}$ から $16 x^{2}$ を引きます。

$256 x^{2} + 16 (x^{4} - 32 x^{2} + 256) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$256 x^{2} + 16 (x^{4} - 32 x^{2} + 256) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 1.2.1.1.4

分配則を当てはめます。

$256 x^{2} + 16 x^{4} + 16 (- 32 x^{2}) + 16 \cdot 256 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 1.2.1.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.5.1

$- 32$ に $16$ をかけます。

$256 x^{2} + 16 x^{4} - 512 x^{2} + 16 \cdot 256 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 1.2.1.1.5.2

$16$ に $256$ をかけます。

$256 x^{2} + 16 x^{4} - 512 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$256 x^{2} + 16 x^{4} - 512 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$256 x^{2} + 16 x^{4} - 512 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 1.2.1.2

$256 x^{2}$ から $512 x^{2}$ を引きます。

$16 x^{4} - 256 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$16 x^{4} - 256 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$16 x^{4} - 256 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$16 x^{4} - 256 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2

$16 x^{4} - 256 x^{2} + 4096 = 4096$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$16 u^{2} - 256 u + 4096 = 4096$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $4096$ を引きます。

$16 u^{2} - 256 u + 4096 - 4096 = 0$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.3

$16 u^{2} - 256 u + 4096 - 4096$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$4096$ から $4096$ を引きます。

$16 u^{2} - 256 u + 0 = 0$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.3.2

$16 u^{2} - 256 u$ と $0$ をたし算します。

$16 u^{2} - 256 u = 0$

$y = x^{2} - 16$

$16 u^{2} - 256 u = 0$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.4

$16 u$ を $16 u^{2} - 256 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$16 u$ を $16 u^{2}$ で因数分解します。

$16 u (u) - 256 u = 0$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.4.2

$16 u$ を $- 256 u$ で因数分解します。

$16 u (u) + 16 u (- 16) = 0$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.4.3

$16 u$ を $16 u (u) + 16 u (- 16)$ で因数分解します。

$16 u (u - 16) = 0$

$y = x^{2} - 16$

$16 u (u - 16) = 0$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u = 0$

$u - 16 = 0$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.6

$u$ が $0$ に等しいとします。

$u = 0$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.7

$u - 16$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$u - 16$ が $0$ に等しいとします。

$u - 16 = 0$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.7.2

方程式の両辺に $16$ を足します。

$u = 16$

$y = x^{2} - 16$

$u = 16$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.8

最終解は $16 u (u - 16) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 0, 16$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.9

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = 0$

$x^{2} = 16$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.10

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = 0$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.11

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.11.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.11.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.11.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

$y = x^{2} - 16$

$x = 0$

$y = x^{2} - 16$

$x = 0$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.12

$x$ について二次方程式を解きます。

$x^{2} = 16$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.13

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

括弧を削除します。

$x^{2} = 16$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.13.3

$\pm \sqrt{16}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.3.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.13.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 4$

$y = x^{2} - 16$

$x = \pm 4$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.13.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 4$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.13.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 4$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.13.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 16$

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 16$

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 2.14

$16 x^{4} - 256 x^{2} + 4096 = 4096$ の解は $x = 0, 4, - 4$ です。

$x = 0, 4, - 4$

$y = x^{2} - 16$

$x = 0, 4, - 4$

$y = x^{2} - 16$

ステップ 3

各方程式の $x$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$y = x^{2} - 16$ の $x$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$y = {(0)}^{2} - 16$

$x = 0$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

${(0)}^{2} - 16$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 - 16$

$x = 0$

ステップ 3.2.1.2

$0$ から $16$ を引きます。

$y = - 16$

$x = 0$

$y = - 16$

$x = 0$

$y = - 16$

$x = 0$

$y = - 16$

$x = 0$

ステップ 4

各方程式の $x$ のすべての発生を $4$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$y = x^{2} - 16$ の $x$ のすべての発生を $4$ で置き換えます。

$y = {(4)}^{2} - 16$

$x = 4$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

${(4)}^{2} - 16$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$y = 16 - 16$

$x = 4$

ステップ 4.2.1.2

$16$ から $16$ を引きます。

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

ステップ 5

各方程式の $x$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$y = x^{2} - 16$ の $x$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$y = {(0)}^{2} - 16$

$x = 0$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

${(0)}^{2} - 16$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 - 16$

$x = 0$

ステップ 5.2.1.2

$0$ から $16$ を引きます。

$y = - 16$

$x = 0$

$y = - 16$

$x = 0$

$y = - 16$

$x = 0$

$y = - 16$

$x = 0$

ステップ 6

各方程式の $x$ のすべての発生を $4$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$y = x^{2} - 16$ の $x$ のすべての発生を $4$ で置き換えます。

$y = {(4)}^{2} - 16$

$x = 4$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

${(4)}^{2} - 16$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$y = 16 - 16$

$x = 4$

ステップ 6.2.1.2

$16$ から $16$ を引きます。

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

ステップ 7

各方程式の $x$ のすべての発生を $- 4$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$y = x^{2} - 16$ の $x$ のすべての発生を $- 4$ で置き換えます。

$y = {(- 4)}^{2} - 16$

$x = - 4$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

${(- 4)}^{2} - 16$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$y = 16 - 16$

$x = - 4$

ステップ 7.2.1.2

$16$ から $16$ を引きます。

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

ステップ 8

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(0, - 16)$

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

点の形：

$(0, - 16), (4, 0), (- 4, 0)$

方程式の形：

$x = 0, y = - 16$

$x = 4, y = 0$

$x = - 4, y = 0$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例