微分積分学準備例

$f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$

ステップ 1

$f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ を方程式で書きます。

$y = 2 x + \frac{1}{3}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 2 y + \frac{1}{3}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $2 y + \frac{1}{3} = x$ として書き換えます。

$2 y + \frac{1}{3} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $\frac{1}{3}$ を引きます。

$2 y = x - \frac{1}{3}$

ステップ 3.3

$2 y = x - \frac{1}{3}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2 y = x - \frac{1}{3}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 3.3.3.1.2

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.3.1.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.3.1.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$ が $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{2 x + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$2 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{2 x \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

ステップ 5.2.3.1.2

$2 x$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{2 x \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

ステップ 5.2.3.1.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{2 x \cdot 3 + 1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

ステップ 5.2.3.1.4

$3$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{6 x + 1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

ステップ 5.2.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{6}$

ステップ 5.2.3.3

$\frac{6 x + 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.3.3.1

$\frac{6 x + 1}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}$

ステップ 5.2.3.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{6} - \frac{1}{6}$

ステップ 5.2.4

項を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1 - 1}{6}$

ステップ 5.2.4.2

$6 x + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 0}{6}$

ステップ 5.2.4.2.2

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x}{6}$

ステップ 5.2.4.3

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x}{6}$

ステップ 5.2.4.3.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6})$ の値を求めます。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.3.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.3.1

$- \frac{1}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{6}) + \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.3.3.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{2 (3)}) + \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.3.3.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{2 \cdot 3}) + \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.3.3.4

式を書き換えます。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + \frac{- 1}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.4

$x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$- \frac{1}{3}$ と $\frac{1}{3}$ をたし算します。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$ は $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$

微分積分学準備 例

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