微分積分学準備例

$f (x) = \ln (x - 5)$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x - 5)$ を方程式で書きます。

$y = \ln (x - 5)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \ln (y - 5)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\ln (y - 5) = x$ として書き換えます。

$\ln (y - 5) = x$

ステップ 3.2

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (y - 5)} = e^{x}$

ステップ 3.3

対数の定義を利用して $\ln (y - 5) = x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{x} = y - 5$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式を $y - 5 = e^{x}$ として書き換えます。

$y - 5 = e^{x}$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$y = e^{x} + 5$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 5$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 5$ が $f (x) = \ln (x - 5)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\ln (x - 5))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\ln (x - 5)) = e^{\ln (x - 5)} + 5$

ステップ 5.2.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (\ln (x - 5)) = x - 5 + 5$

ステップ 5.2.4

$x - 5 + 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$f^{- 1} (\ln (x - 5)) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\ln (x - 5)) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (e^{x} + 5)$ の値を求めます。

$f (e^{x} + 5) = \ln ((e^{x} + 5) - 5)$

ステップ 5.3.3

$(e^{x} + 5) - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.3.1

$5$ から $5$ を引きます。

$f (e^{x} + 5) = \ln (e^{x} + 0)$

ステップ 5.3.3.2

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f (e^{x} + 5) = \ln (e^{x})$

ステップ 5.3.4

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f (e^{x} + 5) = x \ln (e)$

ステップ 5.3.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (e^{x} + 5) = x \cdot 1$

ステップ 5.3.6

$x$ に $1$ をかけます。

$f (e^{x} + 5) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = e^{x} + 5$ は $f (x) = \ln (x - 5)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 5$

微分積分学準備 例

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