微分積分学準備例

$f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ を方程式で書きます。

$y = \ln (x + 2) + \ln (3)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \ln (y + 2) + \ln (3)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\ln (y + 2) + \ln (3) = x$ として書き換えます。

$\ln (y + 2) + \ln (3) = x$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln ((y + 2) \cdot 3) = x$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$\ln (y \cdot 3 + 2 \cdot 3) = x$

ステップ 3.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$\ln (3 \cdot y + 2 \cdot 3) = x$

ステップ 3.2.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\ln (3 y + 6) = x$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (3 y + 6)} = e^{x}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (3 y + 6) = x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{x} = 3 y + 6$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $3 y + 6 = e^{x}$ として書き換えます。

$3 y + 6 = e^{x}$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$3 y = e^{x} - 6$

ステップ 3.5.3

$3 y = e^{x} - 6$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$3 y = e^{x} - 6$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

ステップ 3.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

ステップ 3.5.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

ステップ 3.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.1

$- 6$ を $3$ で割ります。

$y = \frac{e^{x}}{3} - 2$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ が $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln (x + 2) + \ln (3)}}{3} - 2$

ステップ 5.2.3

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln ((x + 2) \cdot 3)}}{3} - 2$

ステップ 5.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{(x + 2) \cdot 3}{3} - 2$

ステップ 5.2.4.1.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{x \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3} - 2$

ステップ 5.2.4.1.3

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 2 \cdot 3}{3} - 2$

ステップ 5.2.4.1.4

$2$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 6}{3} - 2$

ステップ 5.2.4.1.5

$3$ を $3 x + 6$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.5.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x) + 6}{3} - 2$

ステップ 5.2.4.1.5.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 x + 3 \cdot 2}{3} - 2$

ステップ 5.2.4.1.5.3

$3$ を $3 x + 3 \cdot 2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

ステップ 5.2.4.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

ステップ 5.2.4.2.2

$x + 2$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 2 - 2$

ステップ 5.2.5

$x + 2 - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 0$

ステップ 5.2.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{e^{x}}{3} - 2)$ の値を求めます。

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$

ステップ 5.3.3

$\ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} + 0) + \ln (3)$

ステップ 5.3.3.2

$\frac{e^{x}}{3}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3}) + \ln (3)$

ステップ 5.3.4

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

ステップ 5.3.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

ステップ 5.3.5.2

式を書き換えます。

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (e^{x})$

ステップ 5.3.6

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \ln (e)$

ステップ 5.3.7

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \cdot 1$

ステップ 5.3.8

$x$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ は $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例