微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{3 x - 4}$

ステップ 1

$f (x) = \sqrt{3 x - 4}$ を方程式で書きます。

$y = \sqrt{3 x - 4}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt{3 y - 4}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\sqrt{3 y - 4} = x$ として書き換えます。

$\sqrt{3 y - 4} = x$

ステップ 3.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{3 y - 4}}^{2} = x^{2}$

ステップ 3.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 y - 4}$ を ${(3 y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(3 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

${({(3 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${({(3 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(3 y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(3 y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(3 y - 4)}^{1} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

簡約します。

$3 y - 4 = x^{2}$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$3 y = x^{2} + 4$

ステップ 3.4.2

$3 y = x^{2} + 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$3 y = x^{2} + 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$ が $f (x) = \sqrt{3 x - 4}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{{(\sqrt{3 x - 4})}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

ステップ 5.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{{(\sqrt{3 x - 4})}^{2} + 4}{3}$

ステップ 5.2.4

${\sqrt{3 x - 4}}^{2}$ を $3 x - 4$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 x - 4}$ を ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{{({(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}{3}$

ステップ 5.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}{3}$

ステップ 5.2.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{{(3 x - 4)}^{\frac{2}{2}} + 4}{3}$

ステップ 5.2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{{(3 x - 4)}^{\frac{2}{2}} + 4}{3}$

ステップ 5.2.4.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{(3 x - 4) + 4}{3}$

ステップ 5.2.4.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{3 x - 4 + 4}{3}$

ステップ 5.2.5

項を簡約します。

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ステップ 5.2.5.1

$3 x - 4 + 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.5.1.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{3 x + 0}{3}$

ステップ 5.2.5.1.2

$3 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{3 x}{3}$

ステップ 5.2.5.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.5.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{3 x}{3}$

ステップ 5.2.5.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3})$ の値を求めます。

$f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) - 4}$

ステップ 5.3.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3}) + 3 (\frac{4}{3}) - 4}$

ステップ 5.3.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3}) + 3 (\frac{4}{3}) - 4}$

ステップ 5.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) = \sqrt{x^{2} + 3 (\frac{4}{3}) - 4}$

ステップ 5.3.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) = \sqrt{x^{2} + 3 (\frac{4}{3}) - 4}$

ステップ 5.3.5.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) = \sqrt{x^{2} + 4 - 4}$

ステップ 5.3.6

数を引いて簡約します。

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ステップ 5.3.6.1

$4$ から $4$ を引きます。

$f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

ステップ 5.3.6.2

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) = \sqrt{x^{2}}$

ステップ 5.3.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$ は $f (x) = \sqrt{3 x - 4}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

微分積分学準備 例

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