微分積分学準備例

$f (x) = \log_{2} (x - 1)$

ステップ 1

$f (x) = \log_{2} (x - 1)$ を方程式で書きます。

$y = \log_{2} (x - 1)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \log_{2} (y - 1)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\log_{2} (y - 1) = x$ として書き換えます。

$\log_{2} (y - 1) = x$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\log_{2} (y - 1) = x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$2^{x} = y - 1$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $y - 1 = 2^{x}$ として書き換えます。

$y - 1 = 2^{x}$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = 2^{x} + 1$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = 2^{x} + 1$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 2^{x} + 1$ が $f (x) = \log_{2} (x - 1)$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\log_{2} (x - 1))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 1)) = 2^{\log_{2} (x - 1)} + 1$

ステップ 5.2.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 1)) = x - 1 + 1$

ステップ 5.2.4

$x - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 1)) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 1)) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (2^{x} + 1)$ の値を求めます。

$f (2^{x} + 1) = \log_{2} ((2^{x} + 1) - 1)$

ステップ 5.3.3

$(2^{x} + 1) - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (2^{x} + 1) = \log_{2} (2^{x} + 0)$

ステップ 5.3.3.2

$2^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f (2^{x} + 1) = \log_{2} (2^{x})$

ステップ 5.3.4

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f (2^{x} + 1) = x \log_{2} (2)$

ステップ 5.3.5

$2$ の対数の底 $2$ は $1$ です。

$f (2^{x} + 1) = x \cdot 1$

ステップ 5.3.6

$x$ に $1$ をかけます。

$f (2^{x} + 1) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 2^{x} + 1$ は $f (x) = \log_{2} (x - 1)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 2^{x} + 1$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例