微分積分学準備例

$f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{1}{2 x + 5}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{2 y + 5}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{1}{2 y + 5} = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{2 y + 5} = x$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2 y + 5, 1$

ステップ 3.2.2

括弧を削除します。

$2 y + 5, 1$

ステップ 3.2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$2 y + 5$

ステップ 3.3

$\frac{1}{2 y + 5} = x$ の各項に $2 y + 5$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\frac{1}{2 y + 5} = x$ の各項に $2 y + 5$ を掛けます。

$\frac{1}{2 y + 5} (2 y + 5) = x (2 y + 5)$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$2 y + 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 y + 5} (2 y + 5) = x (2 y + 5)$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = x (2 y + 5)$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

分配則を当てはめます。

$1 = x (2 y) + x \cdot 5$

ステップ 3.3.3.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = 2 x y + x \cdot 5$

ステップ 3.3.3.2.2

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$1 = 2 x y + 5 x$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式を $2 x y + 5 x = 1$ として書き換えます。

$2 x y + 5 x = 1$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺から $5 x$ を引きます。

$2 x y = 1 - 5 x$

ステップ 3.4.3

$2 x y = 1 - 5 x$ の各項を $2 x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$2 x y = 1 - 5 x$ の各項を $2 x$ で割ります。

$\frac{2 x y}{2 x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

ステップ 3.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x y}{2 x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

ステップ 3.4.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

ステップ 3.4.3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

ステップ 3.4.3.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

ステップ 3.4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

ステップ 3.4.3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5}{2}$

ステップ 3.4.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$ が $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x + 5})} - \frac{5}{2}$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$2$ と $\frac{1}{2 x + 5}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{1}{\frac{2}{2 x + 5}} - \frac{5}{2}$

ステップ 5.2.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = 1 (\frac{2 x + 5}{2}) - \frac{5}{2}$

ステップ 5.2.3.3

$\frac{2 x + 5}{2}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5}{2} - \frac{5}{2}$

ステップ 5.2.4

項を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

ステップ 5.2.4.2

$2 x + 5 - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.2.1

$5$ から $5$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

ステップ 5.2.4.2.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.4.3.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2})$ の値を求めます。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) + 5}$

ステップ 5.3.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

ステップ 5.3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 (x)}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

ステップ 5.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

ステップ 5.3.3.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

ステップ 5.3.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

$- \frac{5}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

ステップ 5.3.3.3.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

ステップ 5.3.3.3.3

式を書き換えます。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} - 5 + 5}$

ステップ 5.3.3.4

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

ステップ 5.3.3.5

$\frac{1}{x}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

ステップ 5.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = 1 x$

ステップ 5.3.5

$x$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$ は $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$

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