微分積分学準備例

$f (x) = \frac{1}{x + 7}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{1}{x + 7}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{1}{x + 7}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{y + 7}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{1}{y + 7} = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{y + 7} = x$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y + 7, 1$

ステップ 3.2.2

括弧を削除します。

$y + 7, 1$

ステップ 3.2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y + 7$

ステップ 3.3

$\frac{1}{y + 7} = x$ の各項に $y + 7$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{y + 7} = x$ の各項に $y + 7$ を掛けます。

$\frac{1}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$y + 7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = x (y + 7)$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

分配則を当てはめます。

$1 = x y + x \cdot 7$

ステップ 3.3.3.2

$7$ を $x$ の左に移動させます。

$1 = x y + 7 x$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式を $x y + 7 x = 1$ として書き換えます。

$x y + 7 x = 1$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺から $7 x$ を引きます。

$x y = 1 - 7 x$

ステップ 3.4.3

$x y = 1 - 7 x$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$x y = 1 - 7 x$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{x} + \frac{- 7 x}{x}$

ステップ 3.4.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{x} + \frac{- 7 x}{x}$

ステップ 3.4.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{x} + \frac{- 7 x}{x}$

ステップ 3.4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{1}{x} + \frac{- 7 x}{x}$

ステップ 3.4.3.3.1.2

$- 7$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{x} - 7$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 7$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 7$ が $f (x) = \frac{1}{x + 7}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1}{x + 7})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 7}) = \frac{1}{\frac{1}{x + 7}} - 7$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 7}) = 1 (x + 7) - 7$

ステップ 5.2.3.2

$x + 7$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 7}) = x + 7 - 7$

ステップ 5.2.4

$x + 7 - 7$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$7$ から $7$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 7}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 7}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{1}{x} - 7)$ の値を求めます。

$f (\frac{1}{x} - 7) = \frac{1}{(\frac{1}{x} - 7) + 7}$

ステップ 5.3.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$- 7$ と $7$ をたし算します。

$f (\frac{1}{x} - 7) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

ステップ 5.3.3.2

$\frac{1}{x}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{1}{x} - 7) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

ステップ 5.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{1}{x} - 7) = 1 x$

ステップ 5.3.5

$x$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1}{x} - 7) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 7$ は $f (x) = \frac{1}{x + 7}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 7$

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