微分積分学準備例

$f (x) = 3^{x + 1} - 2$

ステップ 1

$f (x) = 3^{x + 1} - 2$ を方程式で書きます。

$y = 3^{x + 1} - 2$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 3^{y + 1} - 2$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $3^{y + 1} - 2 = x$ として書き換えます。

$3^{y + 1} - 2 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$3^{y + 1} = x + 2$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{y + 1}) = \ln (x + 2)$

ステップ 3.4

$y + 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{y + 1})$ を展開します。

$(y + 1) \ln (3) = \ln (x + 2)$

ステップ 3.5

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$(y + 1) \ln (3)$ を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

分配則を当てはめます。

$y \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (x + 2)$

ステップ 3.5.1.2

$\ln (3)$ に $1$ をかけます。

$y \ln (3) + \ln (3) = \ln (x + 2)$

ステップ 3.6

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$y \ln (3) + \ln (3) - \ln (x + 2) = 0$

ステップ 3.7

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$y \ln (3) + \ln (\frac{3}{x + 2}) = 0$

ステップ 3.8

方程式の両辺から $\ln (\frac{3}{x + 2})$ を引きます。

$y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$

ステップ 3.9

$y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ の各項を $\ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.9.1

$y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ の各項を $\ln (3)$ で割ります。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

ステップ 3.9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.9.2.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

ステップ 3.9.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

ステップ 3.9.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.9.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ が $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (3^{x + 1} - 2)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{(3^{x + 1} - 2) + 2})}{\ln (3)}$

ステップ 5.2.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1} + 0})}{\ln (3)}$

ステップ 5.2.3.2

$3^{x + 1}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1}})}{\ln (3)}$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)})$ の値を求めます。

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{(- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) + 1} - 2$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)} + \frac{\ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

ステップ 5.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{\frac{- \ln (\frac{3}{x + 2}) + \ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ は $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

微分積分学準備 例

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