微分積分学準備例

$f (x) = 4 - x^{2}$

ステップ 1

$f (x) = 4 - x^{2}$ を方程式で書きます。

$y = 4 - x^{2}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 4 - y^{2}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $4 - y^{2} = x$ として書き換えます。

$4 - y^{2} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- y^{2} = x - 4$

ステップ 3.3

$- y^{2} = x - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- y^{2} = x - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 3.3.2.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1.1

$\frac{x}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y^{2} = - 1 \cdot x + \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 3.3.3.1.2

$- 1 \cdot x$ を $- x$ に書き換えます。

$y^{2} = - x + \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 3.3.3.1.3

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$y^{2} = - x + 4$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- x + 4}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{- x + 4}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{- x + 4}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{- x + 4}$

$y = - \sqrt{- x + 4}$

$y = \sqrt{- x + 4}$

$y = - \sqrt{- x + 4}$

$y = \sqrt{- x + 4}$

$y = - \sqrt{- x + 4}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 4}, - \sqrt{- x + 4}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 4}, - \sqrt{- x + 4}$ が $f (x) = 4 - x^{2}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = 4 - x^{2}$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 4}, - \sqrt{- x + 4}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = 4 - x^{2}$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, 4]$

ステップ 5.3

$\sqrt{- x + 4}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{- x + 4}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$- x + 4 \geq 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.3.2.1

不等式の両辺から $4$ を引きます。

$- x \geq - 4$

ステップ 5.3.2.2

$- x \geq - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$- x \geq - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x \leq 4$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 4]$

ステップ 5.4

$f (x) = 4 - x^{2}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 4}, - \sqrt{- x + 4}$ の定義域が $f (x) = 4 - x^{2}$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 4}, - \sqrt{- x + 4}$ の範囲が $f (x) = 4 - x^{2}$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 4}, - \sqrt{- x + 4}$ は $f (x) = 4 - x^{2}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 4}, - \sqrt{- x + 4}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例