微分積分学準備例

$f (x) = e^{x + 4}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x + 4}$ を方程式で書きます。

$y = e^{x + 4}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = e^{y + 4}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $e^{y + 4} = x$ として書き換えます。

$e^{y + 4} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y + 4}) = \ln (x)$

ステップ 3.3

左辺を展開します。

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ステップ 3.3.1

$y + 4$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y + 4})$ を展開します。

$(y + 4) \ln (e) = \ln (x)$

ステップ 3.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(y + 4) \cdot 1 = \ln (x)$

ステップ 3.3.3

$y + 4$ に $1$ をかけます。

$y + 4 = \ln (x)$

ステップ 3.4

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$y = \ln (x) - 4$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$ が $f (x) = e^{x + 4}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (e^{x + 4})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = \ln (e^{x + 4}) - 4$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

対数の法則を利用して指数の外に $x + 4$ を移動します。

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = (x + 4) \ln (e) - 4$

ステップ 5.2.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = (x + 4) \cdot 1 - 4$

ステップ 5.2.3.3

$x + 4$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = x + 4 - 4$

ステップ 5.2.4

$x + 4 - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$4$ から $4$ を引きます。

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\ln (x) - 4)$ の値を求めます。

$f (\ln (x) - 4) = e^{(\ln (x) - 4) + 4}$

ステップ 5.3.3

$(\ln (x) - 4) + 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.3.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$f (\ln (x) - 4) = e^{\ln (x) + 0}$

ステップ 5.3.3.2

$\ln (x)$ と $0$ をたし算します。

$f (\ln (x) - 4) = e^{\ln (x)}$

ステップ 5.3.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (x) - 4) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$ は $f (x) = e^{x + 4}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$

微分積分学準備 例

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