微分積分学準備例

$f (x) = - \sqrt{x + 1}$

ステップ 1

$f (x) = - \sqrt{x + 1}$ を方程式で書きます。

$y = - \sqrt{x + 1}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = - \sqrt{y + 1}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $- \sqrt{y + 1} = x$ として書き換えます。

$- \sqrt{y + 1} = x$

ステップ 3.2

$- \sqrt{y + 1} = x$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \sqrt{y + 1} = x$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \sqrt{y + 1}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sqrt{y + 1}}{1} = \frac{x}{- 1}$

ステップ 3.2.2.2

$\sqrt{y + 1}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{y + 1} = \frac{x}{- 1}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$\frac{x}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\sqrt{y + 1} = - 1 \cdot x$

ステップ 3.2.3.2

$- 1 \cdot x$ を $- x$ に書き換えます。

$\sqrt{y + 1} = - x$

ステップ 3.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{y + 1}}^{2} = {(- x)}^{2}$

ステップ 3.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y + 1}$ を ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

ステップ 3.4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

ステップ 3.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(y + 1)}^{1} = {(- x)}^{2}$

ステップ 3.4.2.1.2

簡約します。

$y + 1 = {(- x)}^{2}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

${(- x)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$y + 1 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

ステップ 3.4.3.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$y + 1 = 1 x^{2}$

ステップ 3.4.3.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y + 1 = x^{2}$

ステップ 3.5

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = x^{2} - 1$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ が $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (- \sqrt{x + 1})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- \sqrt{x + 1})}^{2} - 1$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

積の法則を $- \sqrt{x + 1}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

ステップ 5.2.3.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = 1 {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

ステップ 5.2.3.3

${\sqrt{x + 1}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

ステップ 5.2.3.4

${\sqrt{x + 1}}^{2}$ を $x + 1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 1}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1$

ステップ 5.2.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1$

ステップ 5.2.3.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

ステップ 5.2.3.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

ステップ 5.2.3.4.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = (x + 1) - 1$

ステップ 5.2.3.4.5

簡約します。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 1 - 1$

ステップ 5.2.4

$x + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (x^{2} - 1)$ の値を求めます。

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{(x^{2} - 1) + 1}$

ステップ 5.3.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2} + 0}$

ステップ 5.3.4

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2}}$

ステップ 5.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (x^{2} - 1) = - x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ は $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例