微分積分学準備例

$f (x) = x^{2} + 8 x$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + 8 x$ を方程式で書きます。

$y = x^{2} + 8 x$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = y^{2} + 8 y$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $y^{2} + 8 y = x$ として書き換えます。

$y^{2} + 8 y = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$y^{2} + 8 y - x = 0$

ステップ 3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4

$a = 1$ 、 $b = 8$ 、および $c = - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.3

$4$ を $64 + 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.1.3.1

$4$ を $64$ で因数分解します。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.3.2

$4$ を $4 \cdot 16 + 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.4

$4 (16 + x)$ を $2^{2} (4^{2} + x)$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.1.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.6

$4$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

ステップ 3.5.3

$\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ を簡約します。

$y = - 4 \pm \sqrt{16 + x}$

ステップ 3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.3

$4$ を $64 + 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.6.1.3.1

$4$ を $64$ で因数分解します。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.3.2

$4$ を $4 \cdot 16 + 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.4

$4 (16 + x)$ を $2^{2} (4^{2} + x)$ に書き換えます。

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ステップ 3.6.1.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.6

$4$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

ステップ 3.6.3

$\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ を簡約します。

$y = - 4 \pm \sqrt{16 + x}$

ステップ 3.6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = - 4 + \sqrt{16 + x}$

ステップ 3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.7.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.3

$4$ を $64 + 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.7.1.3.1

$4$ を $64$ で因数分解します。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.3.2

$4$ を $4 \cdot 16 + 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.4

$4 (16 + x)$ を $2^{2} (4^{2} + x)$ に書き換えます。

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ステップ 3.7.1.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.6

$4$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

ステップ 3.7.3

$\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ を簡約します。

$y = - 4 \pm \sqrt{16 + x}$

ステップ 3.7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = - 4 - \sqrt{16 + x}$

ステップ 3.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - 4 + \sqrt{16 + x}$

$y = - 4 - \sqrt{16 + x}$

$y = - 4 + \sqrt{16 + x}$

$y = - 4 - \sqrt{16 + x}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ が $f (x) = x^{2} + 8 x$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = x^{2} + 8 x$ の値域、 $f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = x^{2} + 8 x$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- 16, \infty)$

ステップ 5.3

$- 4 + \sqrt{16 + x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{16 + x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$16 + x \geq 0$

ステップ 5.3.2

不等式の両辺から $16$ を引きます。

$x \geq - 16$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- 16, \infty)$

ステップ 5.4

$f (x) = x^{2} + 8 x$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ の定義域が $f (x) = x^{2} + 8 x$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ の範囲が $f (x) = x^{2} + 8 x$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ は $f (x) = x^{2} + 8 x$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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