微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{x + 3}{x - 2}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{y + 3}{y - 2}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式に $y - 2$ を掛けます。

$(y - 2) (x) = (\frac{y + 3}{y - 2}) (y - 2)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$y x - 2 x = (\frac{y + 3}{y - 2}) (y - 2)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$y - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$y x - 2 x = \frac{y + 3}{y - 2} (y - 2)$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$y x - 2 x = y + 3$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$y x - 2 x - y = 3$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $2 x$ を足します。

$y x - y = 3 + 2 x$

ステップ 3.4.3

$y$ を $y x - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$y$ を $y x$ で因数分解します。

$y (x) - y = 3 + 2 x$

ステップ 3.4.3.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y (x) + y \cdot - 1 = 3 + 2 x$

ステップ 3.4.3.3

$y$ を $y (x) + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$y (x - 1) = 3 + 2 x$

ステップ 3.4.4

$y (x - 1) = 3 + 2 x$ の各項を $x - 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$y (x - 1) = 3 + 2 x$ の各項を $x - 1$ で割ります。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1}$

ステップ 3.4.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{3}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1}$

ステップ 3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$ が $f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{3 + 2 (\frac{x + 3}{x - 2})}{(\frac{x + 3}{x - 2}) - 1}$

ステップ 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$\frac{3 + 2 \frac{x + 3}{x - 2}}{\frac{x + 3}{x - 2} - 1}$ に $\frac{x - 2}{x - 2}$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{3 + 2 (\frac{x + 3}{x - 2})}{\frac{x + 3}{x - 2} - 1}$

ステップ 5.2.3.2

まとめる。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (3 + 2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{x + 3}{x - 2} - 1)}$

ステップ 5.2.4

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{x + 3}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.5

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{x + 3}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.5.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

$x - 2$ を $(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) \cdot 2 \frac{x + 3}{x - 2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1.1

$x - 2$ を $(x - 2) \cdot 3$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (3) + (x - 2) (2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.1.2

$x - 2$ を $(x - 2) (3) + (x - 2) (2 \frac{x + 3}{x - 2})$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (3 + 2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.2

$2$ と $\frac{x + 3}{x - 2}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (3 + \frac{2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.3

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 2}{x - 2}$ を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 (x - 2)}{x - 2} + \frac{2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.4

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 (x - 2) + 2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.5

因数分解した形で $\frac{3 (x - 2) + 2 (x + 3)}{x - 2}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.5.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 3 \cdot - 2 + 2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.5.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x - 6 + 2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.5.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x - 6 + 2 x + 2 \cdot 3}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.5.4

$2$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x - 6 + 2 x + 6}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.5.5

$3 x$ と $2 x$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x - 6 + 6}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.5.6

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x + 0}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.5.7

$5 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 + x \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}$

ステップ 5.2.7.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 - 1 \cdot x - 2 \cdot - 1}$

ステップ 5.2.7.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 - 1 \cdot x + 2}$

ステップ 5.2.7.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 - x + 2}$

ステップ 5.2.7.5

$x$ から $x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{0 + 3 + 2}$

ステップ 5.2.7.6

$0$ と $3$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{3 + 2}$

ステップ 5.2.7.7

$3$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{5}$

ステップ 5.2.8

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

$\frac{5 x}{x - 2}$ を $\frac{(x - 2) \frac{5 x}{x - 2}}{5}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{5 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{5}$

ステップ 5.2.8.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.2.1

$5$ を $5 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{5 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{5}$

ステップ 5.2.8.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{5 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{5}$

ステップ 5.2.8.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

ステップ 5.2.8.3

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

ステップ 5.2.8.3.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{3 + 2 x}{x - 1})$ の値を求めます。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + 3}{(\frac{3 + 2 x}{x - 1}) - 2}$

ステップ 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$\frac{\frac{3 + 2 x}{x - 1} + 3}{\frac{3 + 2 x}{x - 1} - 2}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{3 + 2 x}{x - 1} + 3}{\frac{3 + 2 x}{x - 1} - 2}$

ステップ 5.3.3.2

まとめる。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1} + 3)}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1} - 2)}$

ステップ 5.3.4

分配則を当てはめます。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.5

約分で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.5.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.5.2

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.5.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + (x - 1) \cdot 3}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + x \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + 3 \cdot x - 1 \cdot 3}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + 3 \cdot x - 3}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6.4

$3$ から $3$ を引きます。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{2 x + 3 x + 0}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6.5

$2 x + 3 x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{2 x + 3 x}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6.6

$2 x$ と $3 x$ をたし算します。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 + 2 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}$

ステップ 5.3.7.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 + 2 x - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2}$

ステップ 5.3.7.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 + 2 x - 2 \cdot x + 2}$

ステップ 5.3.7.4

$3$ と $2$ をたし算します。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 x - 2 x + 5}$

ステップ 5.3.7.5

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{0 + 5}$

ステップ 5.3.7.6

$0$ と $5$ をたし算します。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

ステップ 5.3.8

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

ステップ 5.3.8.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$ は $f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$

微分積分学準備 例

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