微分積分学準備例

$f (x) = 3^{x - 1}$

ステップ 1

$f (x) = 3^{x - 1}$ を方程式で書きます。

$y = 3^{x - 1}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 3^{y - 1}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $3^{y - 1} = x$ として書き換えます。

$3^{y - 1} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{y - 1}) = \ln (x)$

ステップ 3.3

$y - 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{y - 1})$ を展開します。

$(y - 1) \ln (3) = \ln (x)$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$(y - 1) \ln (3)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

分配則を当てはめます。

$y \ln (3) - 1 \ln (3) = \ln (x)$

ステップ 3.4.1.2

$- 1 \ln (3)$ を $- \ln (3)$ に書き換えます。

$y \ln (3) - \ln (3) = \ln (x)$

ステップ 3.5

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$y \ln (3) - \ln (3) - \ln (x) = 0$

ステップ 3.6

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

方程式の両辺に $\ln (3)$ を足します。

$y \ln (3) - \ln (x) = \ln (3)$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺に $\ln (x)$ を足します。

$y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x)$

ステップ 3.7

$y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x)$ の各項を $\ln (3)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x)$ の各項を $\ln (3)$ で割ります。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

ステップ 3.7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

ステップ 3.7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

ステップ 3.7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.3.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

ステップ 3.7.3.1.2

式を書き換えます。

$y = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$ が $f (x) = 3^{x - 1}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} \cdot 3^{x - 1}$ の値を求めます。

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = 1 + \frac{\ln (3^{x - 1})}{\ln (3)}$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$x - 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{x - 1})$ を展開します。

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = 1 + \frac{(x - 1) \ln (3)}{\ln (3)}$

ステップ 5.2.3.2

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = 1 + \frac{(x - 1) \ln (3)}{\ln (3)}$

ステップ 5.2.3.2.2

$x - 1$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = 1 + x - 1$

ステップ 5.2.4

$1 + x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)})$ の値を求めます。

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{(1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) - 1}$

ステップ 5.3.3

$(1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{0 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}}$

ステップ 5.3.3.2

$0$ と $\frac{\ln (x)}{\ln (3)}$ をたし算します。

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x)}{\ln (3)}}$

ステップ 5.3.4

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x)}$

ステップ 5.3.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$ は $f (x) = 3^{x - 1}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例