微分積分学準備例

$f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{6 x}{3 x - 5}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{6 y}{3 y - 5}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式に $3 y - 5$ を掛けます。

$(3 y - 5) (x) = (\frac{6 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$3 y x - 5 x = (\frac{6 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$3 y - 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$3 y x - 5 x = \frac{6 y}{3 y - 5} (3 y - 5)$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$3 y x - 5 x = 6 y$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $6 y$ を引きます。

$3 y x - 5 x - 6 y = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $5 x$ を足します。

$3 y x - 6 y = 5 x$

ステップ 3.4.3

$3 y$ を $3 y x - 6 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$3 y$ を $3 y x$ で因数分解します。

$3 y (x) - 6 y = 5 x$

ステップ 3.4.3.2

$3 y$ を $- 6 y$ で因数分解します。

$3 y (x) + 3 y (- 2) = 5 x$

ステップ 3.4.3.3

$3 y$ を $3 y (x) + 3 y (- 2)$ で因数分解します。

$3 y (x - 2) = 5 x$

ステップ 3.4.4

$3 y (x - 2) = 5 x$ の各項を $3 (x - 2)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$3 y (x - 2) = 5 x$ の各項を $3 (x - 2)$ で割ります。

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

ステップ 3.4.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

ステップ 3.4.4.2.2

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

ステップ 3.4.4.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$ が $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{5 (\frac{6 x}{3 x - 5})}{3 ((\frac{6 x}{3 x - 5}) - 2)}$

ステップ 5.2.3

$5$ と $\frac{6 x}{3 x - 5}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} - 2)}$

ステップ 5.2.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} - 2 \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5})}$

ステップ 5.2.4.2

$- 2$ と $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} + \frac{- 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

ステップ 5.2.4.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

ステップ 5.2.4.4

因数分解した形で $\frac{6 x - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1

$2$ を $6 x - 2 (3 x - 5)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1.1

$2$ を $6 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x) - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

ステップ 5.2.4.4.1.2

$2$ を $- 2 (3 x - 5)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x) + 2 (- (3 x - 5))}{3 x - 5})}$

ステップ 5.2.4.4.1.3

$2$ を $2 (3 x) + 2 (- (3 x - 5))$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - (3 x - 5))}{3 x - 5})}$

ステップ 5.2.4.4.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - (3 x) + 5)}{3 x - 5})}$

ステップ 5.2.4.4.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5})}$

ステップ 5.2.4.4.4

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5})}$

ステップ 5.2.4.4.5

$3 x$ から $3 x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (0 + 5)}{3 x - 5})}$

ステップ 5.2.4.4.6

$0$ と $5$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 \cdot 5}{3 x - 5})}$

ステップ 5.2.4.5

$2$ に $5$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{10}{3 x - 5})}$

ステップ 5.2.5

$5$ に $6$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{3 (\frac{10}{3 x - 5})}$

ステップ 5.2.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

$3$ と $\frac{10}{3 x - 5}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{\frac{3 \cdot 10}{3 x - 5}}$

ステップ 5.2.6.2

$3$ に $10$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{\frac{30}{3 x - 5}}$

ステップ 5.2.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

ステップ 5.2.8

$30$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

$30$ を $30 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 (x)}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

ステップ 5.2.8.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

ステップ 5.2.8.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

ステップ 5.2.9

$3 x - 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.9.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

ステップ 5.2.9.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{5 x}{3 (x - 2)})$ の値を求めます。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{6 (\frac{5 x}{3 (x - 2)})}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

ステップ 5.3.3

$6$ と $\frac{5 x}{3 (x - 2)}$ をまとめます。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

ステップ 5.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

ステップ 5.3.4.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5}$

ステップ 5.3.4.2

$- 5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 2}{x - 2}$ を掛けます。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

ステップ 5.3.4.3

$- 5$ と $\frac{x - 2}{x - 2}$ をまとめます。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} + \frac{- 5 (x - 2)}{x - 2}}$

ステップ 5.3.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

ステップ 5.3.4.5

因数分解した形で $\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.5.1

$5$ を $5 x - 5 (x - 2)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.5.1.1

$5$ を $5 x$ で因数分解します。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x) - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

ステップ 5.3.4.5.1.2

$5$ を $- 5 (x - 2)$ で因数分解します。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x) + 5 (- (x - 2))}{x - 2}}$

ステップ 5.3.4.5.1.3

$5$ を $5 (x) + 5 (- (x - 2))$ で因数分解します。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

ステップ 5.3.4.5.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

ステップ 5.3.4.5.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

ステップ 5.3.4.5.4

$x$ から $x$ を引きます。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (0 + 2)}{x - 2}}$

ステップ 5.3.4.5.5

$0$ と $2$ をたし算します。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 \cdot 2}{x - 2}}$

ステップ 5.3.4.6

$5$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

ステップ 5.3.5

$6$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{30 x}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

ステップ 5.3.6

今日数因数で約分することで式 $\frac{30 x}{3 (x - 2)}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

$3$ を $30 x$ で因数分解します。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{3 (10 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

ステップ 5.3.6.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{3 (10 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

ステップ 5.3.6.3

式を書き換えます。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10 x}{x - 2}}{\frac{10}{x - 2}}$

ステップ 5.3.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

ステップ 5.3.8

$10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1

$10$ を $10 x$ で因数分解します。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

ステップ 5.3.8.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

ステップ 5.3.8.3

式を書き換えます。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

ステップ 5.3.9

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.9.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

ステップ 5.3.9.2

式を書き換えます。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$ は $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

微分積分学準備 例

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