微分積分学準備例

$f (x) = \frac{2 x - 1}{3}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{2 x - 1}{3}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{2 x - 1}{3}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{2 y - 1}{3}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{2 y - 1}{3} = x$ として書き換えます。

$\frac{2 y - 1}{3} = x$

ステップ 3.2

両辺に $3$ を掛けます。

$\frac{2 y - 1}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y - 1}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

ステップ 3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$2 y - 1 = x \cdot 3$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$2 y - 1 = 3 x$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 y = 3 x + 1$

ステップ 3.4.2

$2 y = 3 x + 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$2 y = 3 x + 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}$ が $f (x) = \frac{2 x - 1}{3}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{3})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{3}) = \frac{3 (\frac{2 x - 1}{3})}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{3}) = \frac{3 (\frac{2 x - 1}{3}) + 1}{2}$

ステップ 5.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{3}) = \frac{3 (\frac{2 x - 1}{3}) + 1}{2}$

ステップ 5.2.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{3}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

ステップ 5.2.5

$2 x - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.5.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{3}) = \frac{2 x + 0}{2}$

ステップ 5.2.5.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{3}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.6.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{3}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.6.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{3}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{3 x}{2} + \frac{1}{2})$ の値を求めます。

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}) - 1}{3}$

ステップ 5.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}{3}$

ステップ 5.3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}{3}$

ステップ 5.3.3.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{3 x + 2 (\frac{1}{2}) - 1}{3}$

ステップ 5.3.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{3 x + 2 (\frac{1}{2}) - 1}{3}$

ステップ 5.3.3.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{3 x + 1 - 1}{3}$

ステップ 5.3.3.4

$1$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{3 x + 0}{3}$

ステップ 5.3.3.5

$3 x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{3 x}{3}$

ステップ 5.3.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{3 x}{3}$

ステップ 5.3.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}$ は $f (x) = \frac{2 x - 1}{3}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}$

微分積分学準備 例

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