微分積分学準備例

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16$

ステップ 1

$x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$x^{4} - 16 - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

ステップ 2.1.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2})}^{2} - 16 - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

ステップ 2.1.3

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2})}^{2} - 4^{2} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

ステップ 2.1.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 4$ です。

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 4) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

ステップ 2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

ステップ 2.1.5.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$(x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

ステップ 2.1.5.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

ステップ 2.1.6

$2 x$ を $- 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

$2 x$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) - 6 x^{2} - 4 x = 0$

ステップ 2.1.6.2

$2 x$ を $- 6 x^{2}$ で因数分解します。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x) - 4 x = 0$

ステップ 2.1.6.3

$2 x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x (- 2) = 0$

ステップ 2.1.6.4

$2 x$ を $2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x) + 2 x (- 2) = 0$

ステップ 2.1.6.5

$2 x$ を $2 x (- x^{2} - 3 x) + 2 x (- 2)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x - 2) = 0$

ステップ 2.1.7

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 2 = 2$ で和が $b = - 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1.1.1

$- 3$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x - 2) = 0$

ステップ 2.1.7.1.1.2

$- 3$ を $- 1$ プラス $- 2$ に書き換える

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} + (- 1 - 2) x - 2) = 0$

ステップ 2.1.7.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 1 x - 2 x - 2) = 0$

ステップ 2.1.7.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x ((- x^{2} - 1 x) - 2 x - 2) = 0$

ステップ 2.1.7.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (x (- x - 1) + 2 (- x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.7.1.3

最大公約数 $- x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x ((- x - 1) (x + 2)) = 0$

ステップ 2.1.7.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x - 1) (x + 2) = 0$

ステップ 2.1.8

$x + 2$ を $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x - 1) (x + 2)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.8.1

$x + 2$ を $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ で因数分解します。

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + 2 x (- x - 1) (x + 2) = 0$

ステップ 2.1.8.2

$x + 2$ を $2 x (- x - 1) (x + 2)$ で因数分解します。

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + (x + 2) (2 x (- x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.8.3

$x + 2$ を $(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + (x + 2) (2 x (- x - 1))$ で因数分解します。

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.9

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 4) (x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.9.1

分配則を当てはめます。

$(x + 2) (x^{2} (x - 2) + 4 (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.9.2

分配則を当てはめます。

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.9.3

分配則を当てはめます。

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.1.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.10.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x + 2) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.10.1.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$(x + 2) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.10.2

$- 2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.10.3

$4$ に $- 2$ をかけます。

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 x (- x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.11

分配則を当てはめます。

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1) = 0$

ステップ 2.1.12

積の可換性を利用して書き換えます。

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1) = 0$

ステップ 2.1.13

$- 1$ に $2$ をかけます。

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x \cdot x) - 2 x) = 0$

ステップ 2.1.14

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.14.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.14.1.1

$x$ を移動させます。

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - 2 x) = 0$

ステップ 2.1.14.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x^{2}) - 2 x) = 0$

ステップ 2.1.14.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 - 2 x^{2} - 2 x) = 0$

ステップ 2.1.15

$- 2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$(x + 2) (x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 8 - 2 x) = 0$

ステップ 2.1.16

$4 x$ から $2 x$ を引きます。

$(x + 2) (x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 8) = 0$

ステップ 2.1.17

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.17.1

因数分解した形で $x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 8$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.17.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.17.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x + 2) ((x^{3} - 4 x^{2}) + 2 x - 8) = 0$

ステップ 2.1.17.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x + 2) (x^{2} (x - 4) + 2 (x - 4)) = 0$

ステップ 2.1.17.1.2

最大公約数 $x - 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 2) ((x - 4) (x^{2} + 2)) = 0$

ステップ 2.1.17.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 2) (x - 4) (x^{2} + 2) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

ステップ 2.3

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.4

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.5

$x^{2} + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x^{2} + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x^{2} = - 2$

ステップ 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

ステップ 2.5.2.3

$\pm \sqrt{- 2}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

ステップ 2.5.2.3.2

$\sqrt{- 1 (2)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

ステップ 2.5.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{2}$

ステップ 2.5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{2}$

ステップ 2.5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{2}$

ステップ 2.5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

ステップ 2.6

最終解は $(x + 2) (x - 4) (x^{2} + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 4, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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