微分積分学準備例

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2}$

ステップ 1

$x^{4} - x^{3} - 12 x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x^{2}$ を $x^{4} - x^{3} - 12 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} - x^{3} - 12 x^{2} = 0$

ステップ 2.1.1.2

$x^{2}$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- x) - 12 x^{2} = 0$

ステップ 2.1.1.3

$x^{2}$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot - 12 = 0$

ステップ 2.1.1.4

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} (- x)$ で因数分解します。

$x^{2} (x^{2} - x) + x^{2} \cdot - 12 = 0$

ステップ 2.1.1.5

$x^{2}$ を $x^{2} (x^{2} - x) + x^{2} \cdot - 12$ で因数分解します。

$x^{2} (x^{2} - x - 12) = 0$

ステップ 2.1.2

因数分解。

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ステップ 2.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 12$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $- 1$ です。

$- 4, 3$

ステップ 2.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x^{2} ((x - 4) (x + 3)) = 0$

ステップ 2.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$x^{2} (x - 4) (x + 3) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 2.3

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.4

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.6

最終解は $x^{2} (x - 4) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 4, - 3$

ステップ 3

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